解：$(1)$证明$：$
过点$D$作$DH ⊥ AB$于$H。$
∵$AD$平分$∠ CAB，$$∠ C = 90°($即$DC ⊥ AC)，$
∴$DC = DH($角平分线上的点到角两边的距离相等$)。$
在$Rt△ BDH$中，斜边$BD ＞$直角边$DH。$
∴$BD ＞ CD。$
$(2)①$证明$：$
连接$OD。$
∵$OA = OD，$
∴$∠ OAD = ∠ ODA。$
∵$AD$平分$∠ CAB，$
∴$∠ CAD = ∠ OAD。$
∴$∠ CAD = ∠ ODA。$
∴$AC // OD。$
∵$∠ C = 90°，$
∴$∠ ODB = 90°，$即$OD ⊥ BC。$
∵$D$在$\odot O$上，
∴$BC$为$\odot O$的切线。
②解:
连接$EF。$
∵$AF $为$\odot O$的直径，
∴$∠ AEF = 90°。$
在$Rt△ AEF_{中}，$$OA = 5，$
∴$AF = 10。$
$AE = \sqrt {AF^2 - EF^2} = \sqrt {10^2 - 8^2} = 6。$
∴$cos ∠ CAB = \frac {AE}{AF} = \frac {6}{10} = \frac {3}{5}。$
在$Rt△ ABC$中，$cos ∠ CAB = \frac {AC}{AB} = \frac {3}{5}。$
∴$\sin B = cos ∠ CAB = \frac {3}{5}。$
在$Rt△ ODB$中，$\sin B = \frac {OD}{OB}。$
∵$OD = 5，$
∴$\frac {5}{OB} = \frac {3}{5}，$
解得$OB = \frac {25}{3}。$
由勾股定理得:
$BD = \sqrt {OB^2 - OD^2} = \sqrt {(\frac {25}{3})^2 - 5^2} = \sqrt {\frac {625}{9} - \frac {225}{9}} = \sqrt {\frac {400}{9}} = \frac {20}{3}$
∴$BD$的长为$\frac {20}{3}。$
