解：$(2) $在$Rt△ BAE$中，$∠ AEB = 90°，$$∠ EBA = 30°，$$AB = 4，$
∴$AE = AB · sin∠ EBA = \frac {1}{2}AB = 2，$
$∠ BAE = 60°。$
如图$2，$延长$DE$交$AB$于点$F，$
∴$EF = AE · sin∠ BAE = \frac {\sqrt {3}}{2} × 2 = \sqrt {3}，$
$AF = \frac {1}{2}AE = 1，$
∴$BF = AB - AF = 4 - 1 = 3。$
由$(1)$可得$AC = \frac {2\sqrt {3}}{3}DE，$
∴$DE = \frac {\sqrt {3}}{2}AC = \sqrt {3}，$
∴$DF = DE + EF = 2\sqrt {3}。$
∴$ $在$Rt△ BFD$中，
$BD = \sqrt {BF^2 + DF^2} = \sqrt {3^2 + (2\sqrt {3})^2} = \sqrt {21}。$
∵$△ ABC ∽ △ EBD，$
∴$\frac {BC}{BD} = \frac {AC}{DE} = \frac {2\sqrt {3}}{3}，$
∴$BC = \frac {2\sqrt {3}}{3} × \sqrt {21} = 2\sqrt {7}$
$(3) $如图$3， $以$AB$为边在$AB$上方作$Rt△BAE， $且$∠EAB=90°，$
$∠EBA=30°， $连接$BE， EA， ED， EC.$
由$(1) $可得$△BDE∽△BCA， $
∴$\frac {DE}{BD}=\frac {AB}{BC}=\frac {2\sqrt {3}}{3}$
② ∵$AC=2，$
∴$DE=\frac {4\sqrt {3}}{3}$
在$Rt△AEB$中$， AB=4， $
$AE=AB· tan∠EBA=4×\frac {\sqrt {3}}{3}=\frac {4\sqrt {3}}{3}，$
∴$D$在以$E$为圆心$， \frac {4\sqrt {3}}{3}$为半径的圆上运动$.$
$ $当$A， E， D$三点共线时$， AD$值最大，
$AD+AE=DE=\frac {8\sqrt {3}}{3}$
在$Rt△ABD$中$， $
$BD=\sqrt {AB^2+AD^2}=\sqrt {4^2+(\frac {8\sqrt {3}}{3})^2}=\frac {4\sqrt {21}}{3}，$
∴$cos∠BDA=\frac {AD}{BD}=\frac {\frac {8\sqrt {3}}{3}}{\frac {4\sqrt {21}}{3}}=\frac {2\sqrt {7}}{7}，$
$ sin∠BDA=\frac {AB}{BD}=\frac {4}{\frac {4\sqrt {21}}{3}}=\frac {\sqrt {21}}{7}$
∵$△ABC∽△EBD，$
∴$∠BDE=∠BCA.$
过点$A$作$AF⊥BC$于点$F，$
∴$CF=AC· cos∠ACB=2×\frac {2\sqrt {7}}{7}=\frac {4\sqrt {7}}{7}， $
$AF=AC· sin∠ACB=2×\frac {\sqrt {21}}{7}$
∴$∠DBC=30°，$
∴$BC=\frac {1}{2}BD=\frac {\sqrt {3}}{2}×\frac {4\sqrt {21}}{3}=2\sqrt {7}，$
∴$BF=BC-CF=2\sqrt {7}-\frac {4\sqrt {7}}{7}=\frac {10\sqrt {7}}{7}，$
∴$ $在$Rt△AFB$中$， tan∠CBA=\frac {AF}{BF}=\frac {\frac {2\sqrt {21}}{7}}{\frac {10\sqrt {7}}{7}}=\frac {\sqrt {3}}{5}$
