解：
(1) $\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象过$A(-2,0)$、$B(4,0)，$
$\therefore \begin{cases} 4a-2b+3=0 \\ 16a+4b+3=0 \end{cases}，$
解得：$\begin{cases} a=-\frac{3}{8} \\ b=\frac{3}{4} \end{cases}，$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3。$
(2) 设直线$BC$的表达式为$y=kx+c，$
$\because B(4,0)，$$C(0,3)，$
$\therefore \begin{cases} 4k+c=0 \\ c=3 \end{cases}，$
解得$\begin{cases} k=-\frac{3}{4} \\ c=3 \end{cases}，$
$\therefore$ 直线$BC$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3。$
过点$P$作$PD⊥ x$轴于点$D，$交$BC$于点$E，$
$\because$ 点$P$的横坐标为$m，$
$\therefore P(m,-\frac{3}{8}m^2+\frac{3}{4}m+3)，$$E(m,-\frac{3}{4}m+3)，$
$\therefore PE=(-\frac{3}{4}m+3)-(-\frac{3}{8}m^2+\frac{3}{4}m+3)=\frac{3}{8}m^2-\frac{3}{2}m，$
$\therefore S_{△ PBC}=\frac{1}{2}× PE× OB=\frac{1}{2}×(\frac{3}{8}m^2-\frac{3}{2}m)×4=\frac{3}{4}m^2-3m。$
(3) 当$S_{△ PBC}=\frac{15}{4}$时，
$\frac{3}{4}m^2-3m=\frac{15}{4}，$
整理得：$3m^2-12m-15=0，$
即$m^2-4m-5=0，$
解得：$m_1=-1，$$m_2=5$（舍去），
当$m=-1$时，$y=-\frac{3}{8}×(-1)^2+\frac{3}{4}×(-1)+3=\frac{15}{8}，$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-1,\frac{15}{8})$
