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$6x+18$
$x+3y$
解：​$(1)②$​当​$n=20$​时，​$x+y+2=20，$​即​$y=18-x。$​
根据配套关系，圆形底面数量是侧面数量的​$2$​倍，可得：
​$ 6x+18=2(x+3y)，$​
​$ $​将​$y=18-x$​代入上式：
​$ 6x+18=2(x+3(18-x))，$​
​$ 6x+18=2(54-2x)，$​
​$ 6x+18=108-4x，$​
​$ 10x=90，$​
​$ $​解得​$x=9，$​则​$y=18-9=9。$​
​$ $​侧面总数为​$x+3y=9+3×9=36，$​
∴最多能加工​$36$​个圆柱形茶叶盒。
解：​$(2)$​设按​$A$​方式裁剪​$x$​块，​$B$​方式裁剪​$y$​块，​$C$​方式裁剪​$z$​块，
​$x+y+z=n。$​
​$ $​圆形底面总数为​$6x+9z，$​侧面总数为​$x+3y，$​
根据配套关系​$6x+9z=2(x+3y)，$​整理得：
​$ 4x+9z=6y，$​
​$ $​将​$y=n-x-z$​代入得：
​$ 4x+9z=6(n-x-z)，$​
​$ 10x+15z=6n，$​
​$ 2x+3z=\frac {6n}{5}。$​
∵​$x，z，n$​为正整数，且​$40≤ n≤50，$​
∴​$n$​是​$5$​的倍数，
​$ $​当​$n=40、$​​$45、$​​$50$​时，方程有正整数解，
∴​$n$​的值为​$40$​或​$45$​或​$50。$​
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