解：$(1)$过点$A$作$AD ⊥ BC$交$BC$的延长线于点$D。$
在$Rt△ ADC$中，
$∠ ACD = 180° - ∠ ACB= 180° - 30° = 150°，$
则$∠ ACD$的邻补角为$30°。$
因为在直角三角形中，$30°$所对的直角边是斜边的一半，
已知$AC = 6，$
所以$AD = \frac {1}{2}AC =\frac {1}{2} × 6 = 3。$
因为$BC = 3，$且$AD = 3，$即$AD = BC，$
满足“等高底”三角形的定义，
所以$△ ABC$是$“$等高底$”$三角形。
$(2)$
$①$当$AB=\sqrt {2}BC$时
$(\mathrm {i})$如图$，$作$AE⊥l_{1}$于点$D，DF⊥AC$于点$F，$
∵$''$等高底$''△ABC$的$''$等底$''$为$BC，$
$l_{1}// l_{2}，l_{1}$与$l_{2}$之间的距离为$2，AB=\sqrt {2}BC，$
∴$BC=AE=2，AB=2\sqrt {2}，$
∵$BE=2，$则$EC=4，$
∴$AC=2\sqrt {5}，$
∵$△ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转$45°$得到$△A'B'C，$
$∠DCF=45°，$
∴$DF=CF，$
设$DF=CF=m，$
∵$l_{1}// l_{2}，$
∴$∠ACE=∠DAF，$
∴$\frac {DF}{AF}=\frac {AE}{CE}=\frac {1}{2}，$
则$AF=2m，$
∴$AC=3m=2\sqrt {5}，$
解得$m=\frac {2\sqrt {5}}{3}，$
∴$CD=\sqrt {2}m=\frac {2\sqrt {10}}{3}$
$(\mathrm {ii})$如图$，$此时$△ ABC$是等腰直角三角形
∵$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转$45°$得到$△ A'B'C，$
∴$∠ ACD=45°，$
∴$△ ACD$是等腰直角三角形$，$
∴$CD=\sqrt {2}AC=2\sqrt {2}.$
$②$当$AC=\sqrt {2}BC$时$，$
$(\mathrm {i})$如图$，$此时$△ ABC$是等腰直角三角形$，$
∵$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转$45°$得到$△ A'B'C，$
∵$A'C⊥ l_{1}，$
∴$CD=AB=2.$
$(\mathrm {ii})$如图$，$作$AE⊥ l_{1}$于点$E，$则$AE=BC，$
∵$AC=\sqrt {2}BC=\sqrt {2}AE，$
∴$∠ ACE=45°，$
∵$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转$45°$得到$△ A'B'C$时$，$
点$A'$在直线$l_{1}$上$，$
∴$A'C// l_{2}，$即直线$A'C$与$l_{2}$无交点$.$
综上，$CD$的值为$\frac {2\sqrt {10}}{3}，2\sqrt {2}$或$2。$
