解：已知$\odot O$的直径$DE=8\ \mathrm {cm}，$则半径$r=4\ \mathrm {cm}，$$\odot O$的运动速度为$1\ \mathrm {cm}/s，$
初始时刻$OC=6\ \mathrm {cm}。$
分四种情况讨论：
$ 1. $直线$AC$与$\odot O$第一次相切：
$ $此时圆心$O$到直线$AC$的距离等于半径$4\ \mathrm {cm}，$
即$OC=4\ \mathrm {cm}，$$\odot O$向左移动的距离为$6-4=2\ \mathrm {cm}，$故$t=2÷1=2s。$
$ 2. $直线$AB$与$\odot O$第一次相切：
$ $过点$O$作$OF⊥ AB$于点$F，$则$OF=4\ \mathrm {cm}。$
$ $在$Rt△ ABC$中，$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {6^2+8^2}=10\ \mathrm {cm}。$
$ $由$△ BOF∽△ BAC，$得$\frac {OF}{AC}=\frac {BO}{AB}，$
即$\frac {4}{6}=\frac {BO}{10}，$解得$BO=\frac {20}{3}\mathrm {cm}。$
$ $初始时$OB=BC+OC=8+6=14\ \mathrm {cm}，$
$\odot O$向左移动的距离为$14-\frac {20}{3}=\frac {22}{3}\mathrm {cm}，$故$t=\frac {22}{3}s。$
$ 3. $直线$AC$与$\odot O$第二次相切：
$ $此时圆心$O$在点$C$左侧，$OC=4\ \mathrm {cm}，$
$\odot O$向左移动的距离为$6+4=10\ \mathrm {cm}，$故$t=10s。$
$ 4. $直线$AB$与$\odot O$第二次相切：
同理，$BO=\frac {20}{3}\mathrm {cm}，$此时圆心$O$在点$B$左侧，
$\odot O$向左移动的距离为$14+\frac {20}{3}=\frac {62}{3}\mathrm {cm}，$故$t=\frac {62}{3}s。$
综上，当$t $为$2、$$\frac {22}{3}、$$10、$$\frac {62}{3}$时，$△ ABC$的一边所在直线与$\odot O$相切。
