第170页

信息发布者：
解：
​$ (1) DE// AB，$​理由如下：
​$ $​在​$Rt△ ABC$​中，
​$∠ C=90°，$​​$AB=10，$​​$BC=8，$​
​$ $​由勾股定理得​$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt {10^2-8^2}=6。$​
由图②可知，当​$x=3$​时，​$y=4，$​
此时​$CE=BC-BE=8-4=4，$​
​$ $​则​$\frac {CD}{AC}=\frac {3}{6}=\frac {1}{2}，$​
​$\frac {CE}{BC}=\frac {4}{8}=\frac {1}{2}，$​
即​$\frac {CD}{AC}=\frac {CE}{BC}。$​
​$ $​又​$∠ C=∠ C，$​
所以​$△ CDE∽△ CAB，$​
​$ $​所以​$∠ CDE=∠ CAB，$​
故​$DE// AB。$​
​$ (2) $​由​$△ CDE∽△ CAB，$​得​$\frac {CE}{BC}=\frac {CD}{AC}，$​
即​$\frac {8-y}{8}=\frac {x}{6}，$​
​$ $​结合图​$②$​的函数关系可得​$y=-\frac {4}{3}x+8，$​
则​$CE=8-y=\frac {4}{3}x。$​
​$ △ DCE$​的面积​$S_{△ DCE}=\frac {1}{2}× CD× CE=\frac {1}{2}× x×\frac {4}{3}x=\frac {2}{3}x^2。$​
​$ $​将​$△ DCE$​沿​$DE$​翻折后，当​$x=4$​时，​$△ DME$​与​$△ ABC$​重叠部分面积取得最大值，最大值为​$8。$​


解：
​$ (1) $​过点​$B$​作​$BH⊥ AD，$​交​$AD$​的延长线于​$H。$​
​$ $​因为四边形​$ABCD$​是平行四边形，​$∠ ABC=60°，$​
所以​$∠ BAH=60°。$​
​$ $​在​$Rt△ ABH$​中，​$AB=10，$​
​$ $​则​$AH=AB×\mathrm {cos}60°=5，$​
​$BH=AB×\mathrm {sin}60°=5\sqrt {3}。$​
​$ $​因为​$AD=BC=14，$​
所以​$HD=AD+AH=14+5=19。$​
​$ $​设​$MD=MB=x，$​
则​$HM=19-x，$​
​$ $​在​$Rt△ BHM$​中，由勾股定理得：
​$ (19-x)^2+(5\sqrt {3})^2=x^2，$​
​$ $​展开得​$361-38x+x^2+75=x^2，$​
​$ $​解得​$x=\frac {218}{19}，$​
​$ $​所以​$S_{△ BMD}=\frac {1}{2}× MD× BH=\frac {1}{2}×\frac {218}{19}×5\sqrt {3}=\frac {545\sqrt {3}}{19}。$​
​$ (2) $​在图2中，过点​$B$​作​$BH⊥ AD$​于​$H，$​过点​$E$​作​$EQ⊥ AD$​于​$Q。$​
​$ $​在​$Rt△ FBH$​中，​$BF=BC=14，$​​$BH=5\sqrt {3}，$​
​$ $​所以​$HF=\sqrt {BF^2-BH^2}=\sqrt {14^2-(5\sqrt {3})^2}=11，$​
​$ $​因为​$AH=5，$​
所以​$AF=HF-AH=11-5=6，$​​$FD=AD-AF=14-6=8。$​
​$ $​设​$EC=m，$​
则​$ED=CD-EC=10-m，$​
​$ $​因为​$AB// CD，$​
所以​$∠ EDQ=60°，$​
​$ $​在​$Rt△ EDQ_{中}，$​
​$EQ=ED×\mathrm {sin}60°=\frac {\sqrt {3}}{2}(10-m)，$​
​$QD=ED×\mathrm {cos}60°=\frac {1}{2}(10-m)，$​
​$ $​所以​$FQ=FD-QD=8-\frac {1}{2}(10-m)。$​
​$ $​因为​$EF=EC=m，$​
在​$Rt△ EQF_{中}，$​
由勾股定理得：
​$\mathrm {m^2}=[\frac {\sqrt {3}}{2}(10-m)]^2+[8-\frac {1}{2}(10-m)]^2，$​
​$ $​展开并化简得​$\mathrm {m^2}=84-12m+\mathrm {m^2}，$​
​$ $​解得​$m=7，$​故​$EC$​的长为​$7。$​
上一页 下一页