$(1) $解：
∵$∠ BAC=90°，$$AD$是$△ ABC$的中线，
∴$AD=BD=CD，$$∠ C=∠ DAC。$
∵$DA'// AB，$
∴$∠ DA'C+∠ BAC=180°，$
即$∠ DA'C=90°。$
∵$A'E⊥ BC，$
∴$△ A'DE∽△ CBA。$
$ $由$\sin C=\frac {3}{4}，$设$AB=3k，$$BC=4k，$
则$AC=\sqrt {BC^2-AB^2}=\sqrt {7}k，$
$AD=A'D=2k。$
$ \frac {S_{△ A'DE}}{S_{△ CBA}}=(\frac {A'D}{BC})^2=(\frac {2k}{4k})^2=\frac {1}{4}，$
∵$S_{△ CBA}=\frac {1}{2}× AB× AC=\frac {3\sqrt {7}}{2}k^2，$
∴$S_{△ A'DE}=\frac {3\sqrt {7}}{8}k^2。$
∵$DA'// AB，$
∴$S_{△ ABA'}=S_{△ ABD}=\frac {1}{2}S_{△ CBA}=\frac {3\sqrt {7}}{4}k^2。$
$ $在$△ ADA'$中，$AD=A'D=2k，$$∠ ADA'=180°-2∠ C，$
$ \sin ∠ ADA'=\mathrm {sin}2C=2sin Ccos C=2×\frac {3}{4}×\frac {\sqrt {7}}{4}=\frac {3\sqrt {7}}{8}，$
∴$S_{△ ADA'}=\frac {1}{2}× AD× A'D×sin∠ ADA'=\frac {3\sqrt {7}}{4}k^2。$
∴$S_{四边形A'DAB}=S_{△ ADA'}+S_{△ ABD}=\frac {3\sqrt {7}}{4}k^2+\frac {3\sqrt {7}}{4}k^2=\frac {3\sqrt {7}}{2}k^2。$
∴$\frac {S_{△ A'DE}}{S_{四边形A'DAB}}=\frac {\frac {3\sqrt {7}}{8}k^2}{\frac {3\sqrt {7}}{2}k^2}=\frac {3}{10}，$
即面积之比为$3：10。$
$ (2) $证明：$∠ BA'E=∠ DA'A，$理由如下：
∵$AD=A'D，$
∴$△ ADA'$是等腰三角形，
$∠ DA'A=∠ DAA'。$
∵$DA'// AB，$
∴$∠ DAA'=∠ AA'D。$
∵$∠ BAC=90°，$$AD=BD，$
∴$∠ B=∠ BAD。$
∵$A'E⊥ BC，$
∴$∠ BA'E+∠ B=90°；$
$ $又$∠ DAA'+∠ BAD=90°(∠ BAC=90°)，$
∴$∠ BA'E=∠ DAA'，$
∴$∠ BA'E=∠ DA'A。$
