解：$(1) $原点$O$在$\odot P_{外} $理由：
∵$ $直线$y=\sqrt {3}x-2\sqrt {3}$与$x$轴、$y$轴分别交于$A、$$B$两点，
∴$ $易得$A、$$B$两点的坐标分别为$A(2，0)、$$B(0，-2\sqrt {3})。$
在$Rt△ ABO$中，$OA=2，$$OB=2\sqrt {3}，$
∴$AB=\sqrt {OA^2+OB^2}=4。$
过点$O$作$OH⊥ AB$于点$H。$
∵$\frac {1}{2}OA· OB=\frac {1}{2}AB· OH，$
∴$OH=\frac {OA· OB}{AB}=\sqrt {3}。$
∵$\sqrt {3}＞1，$
∴$ $原点$O$在$\odot P_{外}$
$(2) $由$(1)$得$OA=2，$$AB=4，$
取$AB$的中点$E，$连接$OE，$
易得$OE=AE=BE=\frac {1}{2}AB=2。$
∴$OA=OE=AE。$
∴$△ AOE$是等边三角形。
∴$∠ OAB=60°。$
∴$∠ ABO=30°。$
如图①，当$\odot P_{过点}B，$交$y$轴于另一点$C，$且圆心$P $在$y$轴右侧时，连接$PC。$
∵$PC=PB，$
∴$∠ PCB=∠ PBC=30°。$
∴$∠ CPB=120°。$
∴$\odot P $被$y$轴所截得的劣弧所对的圆心角的度数为$120°。$
劣弧长为$\frac {120× π × 1}{180}=\frac {2π}{3}。$
同理，当$\odot P'$过点$B，$交$y$轴于另一点$C'，$且圆心$P'$在$y$轴左侧时，连接$P'C'，$
求得$\odot P'$被$y$轴所截得的劣弧的长同样为$\frac {2π}{3}$
$(3) $如图$②，$当$\odot P_{1}$与$x$轴相切，且位于$x$轴下方时，设切点为$D_{1}。$
∵$P_{1}D_{1}⊥ x$轴，$OB⊥ x$轴，
∴$P_{1}D_{1}// OB。$
∴$∠ AP_{1}D_{1}=∠ ABO=30°。$
在$Rt△ AP_{1}D_{1}$中，$P_{1}D_{1}=1，$设$AD_{1}=x，$则$AP_{1}=2x。$
∴$(2x)^2=x^2+1。$
∴$x_{1}=\frac {\sqrt {3}}{3}，$$x_{2}=-\frac {\sqrt {3}}{3}($不合题意，舍去)，
即$AD_{1}=\frac {\sqrt {3}}{3}。$
∴$OD_{1}=2-\frac {\sqrt {3}}{3}，$
∴此时切点$D_{1}$的坐标为$(2-\frac {\sqrt {3}}{3}，0)．$
当$\odot P_{2}$与$x$轴相切，且位于$x$轴上方时，根据对称性可求得切点$D_{2}$的坐标为$(2+\frac {\sqrt {3}}{3}，0)．$
综上所述，切点的坐标为$(2-\frac {\sqrt {3}}{3}，0)$或$(2+\frac {\sqrt {3}}{3}，0)$
