解$：(1)$把点$A(3，0)$代入$y=-\frac {2}{3}x+c_{中}，$得$c=2， $
∴$B(0，2).$
把点$A(3，0)，B(0，2)$代入$y=-\frac {4}{3}x^2+bx+c_{中}，$
得$\begin {cases} -\frac {4}{3}×3^2+3b+c=0， \\c=2 \end {cases}$
解得$\begin {cases} b=\frac {10}{3}， \\c=2 \end {cases}$
∴点$B$的坐标是$(0，2)，$抛物线的解析式是$y=-\frac {4}{3}x^2+\frac {10}{3}x+2；$
$(2)$设$M(m，0)，$
∵$MN⊥ x$轴，
∴$N(m，-\frac {4}{3}\mathrm {m^2}+\frac {10}{3}m+2)，$
∵$∠ APM=∠ BPN，$$∠ AMP=90°，$
∴要$△ APM$与$△ BPN$相似，必有$∠ NBP=90°$或$∠ BNP=90°。$
$①$当$∠ NBP=90°=∠ AMP $时，如图，作$NC⊥ y$轴于$C，$则可证$△ NCB∽△ BOA，$
∴$\frac {NC}{OB}=\frac {CB}{OA}，$
即$\frac {m}{2}=\frac {-\frac {4}{3}\mathrm {m^2}+\frac {10}{3}m+2-2}{3}，$
解得$m_{1}=0($舍去$)，$$m_{2}=\frac {11}{8}，$
∴$M(\frac {11}{8}，0)。$
$②$当$∠ BNP=90°，$则$∠ BNP=∠ NMO=90°，$
∴$BN// x$轴，由抛物线对称性可知$N(\frac {5}{2}，2)，$
∴$M(\frac {5}{2}，0)，$
综上，符合条件的点$M$的坐标为$(\frac {11}{8}，0)$或$(\frac {5}{2}，0)。$
