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第176页

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解$： (1)$如图$1， $过点$C$作$CG⊥y$轴于点$G$

∴$∠CGB=∠AOB=90°$

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$BC=AB，∠ABC=90°$

∴$∠ABO+∠CBG=∠ABO+∠BAO$

∴$∠CBG=∠BAO$

在$△CBG $与$△BAO$中

$\begin {cases} ∠CBG=∠BAO\\∠BGC=∠AOB\\CB=AB\end {cases}$

∵$△ CBG≌ △ BAO(\mathrm {AAS})$

∵$A(3，0)， B(0，a)(-3 ＜ a ＜ 0)$

∴$OA=3， OB=-a$

∵$BG=OA=3， CG=BO=-a$

∴$OG=BG-OB=3+a$

∴$C(a， 3+a)$

∵$ $点$E$与点$A$关于$y$轴对称

∴$E(-3， 0)$

设直线$EF $函数关系式为$y=kx+b$

∴$\begin {cases} -3k+b=0 \\ak+b=3+a \end {cases}$

解得：$\begin {cases} k=1 \\b=3 \end {cases}$

∴$ $直线$EF $函数关系式为：$y=x+3$

$(2)CE=\sqrt {2}DF，$理由如下：

如图$2，$过点$C$作$CP⊥ x$轴于点$P，$过点$C$作$CH⊥ y$轴于点$G，$过点$D$作$DH⊥ CH$于点$H，$

∵四边形$DFGH$是矩形，$△ CDH≌△ BCG$

∴$CH=BG=3，$

∵$E(-3，0)，$$C(a，3+a)$

∴$CG=-a，$$CP=3+a$

∴$FD=GH=CH-CG=3-(-a)=3+a$

∵$x=0$时，$y=x+3=3$

∴$F(0，3)，$$OE=OF$

∵$PC=3+a，$$EP=OE-OP=3-(-a)=3+a$

∴$CE=\sqrt {PC^2+EP^2}=\sqrt {2}(3+a)$

∴$CE=\sqrt {2}DF$

 解：

 (1) 二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{2}x；$

 (2) 点$G$运动路径的长为$\frac{1}{3}$