解：
$ (1) $在$Rt△ AOQ_{中}，$$AQ=3，$
∴$Q(3，4)，$
∴$OQ $的函数表达式为$y=\frac {4}{3}x。$
$ $设点$P(x，\frac {1}{4}x^2)，$
则$M$的坐标为$(\frac {1}{2}x，\frac {1}{8}x^2+\frac {1}{2})。$
∵点$M$在$OQ_{上}，$
∴$\frac {4}{3}×\frac {1}{2}x=\frac {1}{8}x^2+\frac {1}{2}，$
整理得$x^2-\frac {16}{3}x+4=0。$
$ $解得$x=\frac {8\pm 2\sqrt {7}}{3}，$
∵$0≤ x≤4，$
∴$x=\frac {8-2\sqrt {7}}{3}，$
即点$P $的横坐标为$\frac {8-2\sqrt {7}}{3}。$
$ (2) $分三种情况：
$ ①$当点$P $为直角顶点时，点$Q $的坐标为$(4\sqrt {5}-7，4)；$
$ ②$当点$Q $为直角顶点时，点$Q $的坐标为$(4\sqrt {2}-5，4)；$
$ ③$当点$F $为直角顶点时，不存在符合条件的点$Q，$舍去。
综上，点$Q $的坐标为$(4\sqrt {5}-7，4)、$$(4\sqrt {2}-5，4)。$
$ (3) $设点$P(x，\frac {1}{4}x^2)，$
则$T(0，\frac {1}{4}x^2)、$$N(x，4)。$
$ $当$0＜x＜1$时，
$S_{1}=\frac {1}{2}(4-\frac {1}{4}x^2)，$
$S_{2}=\frac {1}{2}(4+x)，$
∴$\frac {S_{1}}{S_{2}}=1-\frac {1}{4}x，$
此时$\frac {3}{4}＜\frac {S_{1}}{S_{2}}＜1。$
$ $当$1＜x＜4$时，
$S_{1}=\frac {1}{2}(2x-1)(4-\frac {1}{4}x^2)，$
$S_{2}=\frac {1}{2}(4+x)，$
∴$\frac {S_{1}}{S_{2}}=-\frac {1}{2}(x-\frac {9}{4})^2+\frac {49}{32}，$
此时$\frac {S_{1}}{S_{2}}$的最大值为$\frac {49}{32}。$
综上，$\frac {S_{1}}{S_{2}}$的最大值为$\frac {49}{32}。$
