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解：
​$ (1) $​连接​$OO'，$​
∵点​$O$​与​$O'$​关于​$AC$​对称，​$O'$​在半圆上，
∴​$AC$​垂直平分​$OO'，$​
​$AO'=AO=\frac {1}{2}，$​
∵​$AB=1，$​
​$\odot O$​半径为​$\frac {1}{2}，$​
∴​$AO=OO'=AO'=\frac {1}{2}，$​
​$△ AOO'$​是等边三角形，
∴​$∠ OAC=30°，$​
∵​$BM$​是半圆​$O$​的切线，
∴​$AB⊥ BM，$​
​$ $​在​$Rt△ ABC$​中，
​$tan∠ BAC=\frac {BC}{AB}，$​
∴​$BC=AB·\mathrm {tan}30°=1×\frac {\sqrt {3}}{3}=\frac {\sqrt {3}}{3}。$​
​$ (2) $​连接​$BD，$​
∵​$AB$​是半圆​$O$​的直径，
∴​$∠ ADB=90°，$​
∵​$DE⊥ BM，$​​$AB⊥ BM，$​
∴​$DE// AB，$​
∴​$∠ CDE=∠ CAB，$​​$∠ CED=∠ CBA=90°，$​
∴​$△ CDE ∽ △ CAB，$​
∴​$\frac {DE}{AB}=\frac {CD}{AC}，$​
​$\frac {CE}{BC}=\frac {CD}{AC}，$​
∴​$\frac {DE}{AB}=\frac {CE}{BC}，$​
即​$\frac {x}{1}=\frac {y}{BC}，$​
∴​$BC=\frac {y}{x}。$​
​$ $​由射影定理得​$AB^2=AD· AC，$​
∵​$AD=AC-CD=AC-\frac {x· AC}{AB}=AC(1-x)，$​
∴​$1=AC(1-x)· AC，$​即​$AC^2=\frac {1}{1-x}。$​
​$ $​又​$AC^2=AB^2+BC^2=1+(\frac {y}{x})^2，$​
∴​$1+\frac {y^2}{x^2}=\frac {1}{1-x}，$​
​$ $​整理得​$y^2=\frac {x^3}{1-x}，$​
∴​$y=\frac {x\sqrt {x(1-x)}}{1-x} (0＜x＜\frac {1}{2})。$​
解：
(1) 将点$A(0,-3)$、$B(3,0)$代入$y=a(x-1)^2+k$得：
$\begin{cases}a+k=-3 \\4a+k=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1 \\k=-4\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=(x-1)^2-4，$即$y=x^2-2x-3。$
(2) $\because$ 点$C(x_1,m)$、$D(x_2,m)$在二次函数图象上，
$\therefore x_1$、$x_2$是方程$(x-1)^2-4=m$的两个根，
整理得$x^2-2x-(3+m)=0，$
由韦达定理得$x_1+x_2=2，$$x_1x_2=-(3+m)，$
$\therefore x_1-x_2=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{4+4(3+m)}=2\sqrt{m+4}，$
$\because 1≤ x_1-x_2≤3，$
$\therefore 1≤2\sqrt{m+4}≤3，$
解得$-\frac{15}{4}≤ m≤-\frac{7}{4}。$
(3) 存在，$PQ$的长为$\sqrt{2}$或$9\sqrt{2}。$
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