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解：
​$ (2) $​由​$(1)$​知​$a=10，$​
小亮的速度为​$\frac {1500}{10}=150$​米​$/$​分钟。
​$ $​小明休息前跑的路程为​$1500-4×62.5=1250$​米，
休息前跑步时间为​$\frac {1250}{250}=5$​分钟，
∴​$B$​点坐标为​$(6，1250)，$​​$C$​点坐标为​$(10，1500)。$​
​$ $​设​$BC$​对应的函数表达式为​$s=kt+b，$​
​$ $​将​$(6，1250)、$​​$(10，1500)$​代入得：
​$ \begin {cases}6k+b=1250 \\10k+b=1500\end {cases}$​
​$ $​解得​$\begin {cases}k=62.5 \\b =875\end {cases}$​
∴​$BC$​对应的函数表达式为​$s=62.5t+875 (6≤ t≤10)。$​
​$ (3) $​小明前​$5$​分钟的速度为​$250$​米​$/$​分钟，
对应的函数表达式为​$s=250t (0≤ t≤5)，$​
​$ $​小亮的函数表达式为​$s=1500-150t (0≤ t≤10)。$​
​$ $​令​$250t=1500-150t，$​
​$ $​解得​$t=\frac {15}{4}=3.75。$​
答：小明、小亮相遇的时间为​$3.75$​分钟。

解：
(1) 当点$C'$与点$A$重合时，
由折叠知$AB'=BC=8，$$∠ AB'M=∠ B=90°。$
设$B'M=x，$则$AM=12-x，$
在$\mathrm{Rt}△ AB'M$中，由勾股定理得：
$x^2+8^2=(12-x)^2，$
解得$x=\frac{10}{3}，$即$B'M=\frac{10}{3}。$
(2) 过点$D$作$DG⊥ BC$于点$G，$
则$BG=AD=13，$$GC=13-8=5，$$DG=AB=12，$
由勾股定理得$CD=\sqrt{DG^2+GC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13，$
故$AD=CD，$$∠ DAC=∠ DCA。$
由折叠知$∠ AC'N=∠ C，$
$\because ∠ AFC'=∠ ADC，$$∠ FAC'=∠ DAC，$
$\therefore △ AFC' ∽ △ CDA，$
$\therefore \frac{AC'}{CD}=\frac{AF}{AD}，$
$\because AD=CD=13，$
$\therefore AC'=AF。$
设$AC'=x，$则$AF=x，$$FB=x-12，$
由折叠知$B'C'=BC=8，$$∠ FB'C'=90°，$
在$\mathrm{Rt}△ FB'C'$中，$FC'=AF=x，$由勾股定理得：
$(x-12)^2+8^2=x^2，$
解得$x=\frac{26}{3}，$即$AC'=\frac{26}{3}。$
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