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$\sqrt{6}$
解​$：(1)$​原式​$=4\sqrt {3}+\frac {\sqrt {2}}{2}+\frac {\sqrt {3}}{4}-5\sqrt {2}$​
​$= \frac {17\sqrt {3}}{4}-\frac {9\sqrt {2}}{2}$​
解​$：(2)$​原式​$=(2\sqrt {6}-\frac {\sqrt {3}}{3})-(\frac {\sqrt {3}}{9}+\sqrt {6})$​
​$=2\sqrt {6}-\frac {\sqrt {3}}{3}-\frac {\sqrt {3}}{9}-\sqrt {6}$​
​$= \sqrt {6}-\frac {4\sqrt {3}}{9}$​
解​$：(3)$​原式​$=2\sqrt {x}-3\sqrt {x}+2\sqrt {x}$​
​$= \sqrt {x}$​
解​$：(4)$​原式​$=\frac {3}{2}\sqrt {2x}+5\sqrt {2x}-\frac {\sqrt {2x}}{2}$​
​$= 6\sqrt {2x}$​
解：∵​$a=\frac {1}{2+\sqrt {3}}=\frac {2-\sqrt {3}}{(2+\sqrt {3})(2-\sqrt {3})}=2-\sqrt {3}＜1$​，
∴原式​$=\frac {(a-1)^2}{a-1}+\frac {\sqrt {(a-1)^2}}{a(a-1)}$​
​$ =a-1+\frac {1-a}{a(a-1)}=a-1-\frac {1}{a}$​
​$ =2-\sqrt {3}-1-\frac {1}{2-\sqrt {3}}=2-\sqrt {3}-1-(2+\sqrt {3})$​
​$ =-1-2\sqrt {3}$​
解：​$(1)$​∵​$x=\sqrt {5}-3$​，
∴​$x+3=\sqrt {5}$​，
∴​$(x+3)^2=5$​，
即​$x^2+6x+9=5$​，
∴​$x^2+6x=-4$​，
∴​$x^2+6x-4=-8$​。
​$ (2)$​∵​$x=\frac {\sqrt {10}-2}{3}$​，
∴​$3x+2=\sqrt {10}$​，
∴​$(3x+2)^2=10$​，
∴​$9x^2+12x+4=10$​，
∴​$3x^2+4x=2$​，
∴​$6x^2+8x=4$​。
∴原式​$=x(6x^2+8x+3x)=x(4+3x)=3x^2+4x=2$​
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