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第134页

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解：原式$=\frac {a-2}{a-1}÷(a+1-\frac {3}{a-1})$

$ =\frac {a-2}{a-1}÷(\frac {(a+1)(a-1)-3}{a-1})$

$ =\frac {a-2}{a-1}÷\frac {a^2-4}{a-1}$

$ =\frac {a-2}{a-1}·\frac {a-1}{(a+2)(a-2)}$

$ =\frac {1}{a+2}$

$ $当$a=\sqrt {2}-2$时，

$ $原式$=\frac {1}{\sqrt {2}-2+2}=\frac {1}{\sqrt {2}}=\frac {\sqrt {2}}{2}$

$\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

解：$(3)$∵$a＜0$，$A(a，\frac {a}{2}-4)$，$B(a，-\frac {8}{a})$

∴$AB=|-\frac {8}{a}-(\frac {a}{2}-4)|=|-\frac {8}{a}-\frac {a}{2}+4|$

∵$a＜0$，则$-a＞0$，$-\frac {8}{a}＞0$

∴$-\frac {8}{a}-\frac {a}{2}=(-\frac {8}{a})+(-\frac {a}{2})≥2\sqrt {(-\frac {8}{a})·(-\frac {a}{2})}=2\sqrt {4}=4$

$ $当且仅当$-\frac {8}{a}=-\frac {a}{2}$，即$a^2=16$，$a=-4(a=4$舍去$)$时，等号成立

$ $此时$AB=4+4=8$

答：当$a=-4$时，线段$AB$最短，最短是$8$。