证明:$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形,
∴$AB=CB$,$∠ ABD=∠ CBD$。
又∵$BE=BE$,
∴$△ ABE≌△ CBE(\mathrm {SAS})$。
$ (2) $∵四边形$ABCD$是正方形,
∴$∠ BAD=90°$,$∠ ADB=45°$。
∵$DE=DA$,
∴$∠ DAE=∠ DEA$。
∵$∠ DAE+∠ DEA+∠ ADE=180°$,
∴$∠ DAE=∠ DEA=67.5°$,
∴$∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=22.5°$。