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证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​为平行四边形，
∴​$AB// DC$​，​$AB=CD$​，
∴​$∠ OEB=∠ ODC$​。
又∵​$O$​为​$BC$​的中点，
∴​$BO=CO$​。
​$ $​在​$△ BOE$​和​$△ COD$​中，
​$ \begin {cases}∠ OEB=∠ ODC， \\∠ BOE=∠ COD， \\BO=CO，\end {cases}$​
∴​$△ BOE≌△ COD(\mathrm {AAS})$​，
∴​$OE=OD$​，
∴四边形​$BECD$​是平行四边形。

①②
解​$：(2) $​选择​$①$​嘉嘉的方案证明：
∵​$EF $​是​$BD$​的垂直平分线，
∴​$EF⊥ BD$​，​$OB=OD$​，​$EB=ED$​，
​$FB=FD$​，
∴​$∠ BEO=∠ DEO$​。
∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$AD// BC$​，
∴​$∠ BFO=∠ DEO$​，
∴​$∠ BFO=∠ BEO$​，
∴​$BF=BE$​，
∴​$BF=BE=ED=DF$​，
∴四边形​$BEDF $​为菱形。
或选择②淇淇的方案证明：
如图，连接​$AC$​，​$BD$​，

∵矩形​$ABCD$​四条边的中点为​$E，F，G，H$​，
∴​$AC=BD$​，​$EH，FG，EF，HG $​都是三角
形的中位线，
∴​$EH=\frac {1}{2}BD=FG$​，​$EF=\frac {1}{2}AC=HG$​，
∴​$EH=FG=EF=HG$​，
∴四边形​$EFGH$​为菱形。
​$ (3) $​嘉嘉的方案构成的四边形面积大，最大面
积是​$\frac {328}{5}\mathrm {cm}^2$​。
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