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解：​$(1)$​由题意，得​$AP=4t\mathrm {cm}$​，​$CQ=t\mathrm {cm}$​，
∴​$DQ=(12-t)\mathrm {cm}$​。
∵​$DQ// AP$​，​$∠ A=90°$​，
∴当​$AP=DQ $​时，四边形​$APQD$​是矩形，
​$ $​即​$4t=12-t$​，
解得​$t=\frac {12}{5}$​。
​$ (2)$​∵​$AB// CD$​，
∴当​$BC=PQ=10\ \mathrm {cm} $​时，四边形​$BCQP $​是等腰
梯形。
如图，过​$Q，C$​分别作​$QE⊥ AB$​，​$CF⊥ AB$​，垂足
分别为​$E，F$​，
​$ $​则​$CF=AD=QE$​，四边形​$DAEQ $​为矩形，
∴​$PE=BF=20-12=8(\mathrm {cm})$​，​$AE=DQ$​，
∴​$4t+8=12-t$​，
解得​$t=\frac {4}{5}$​。
​$ (3) $​不存在。理由如下：
​$ $​由条件得​$AD=\sqrt {10^2-8^2}=6(\mathrm {cm})$​，
∴梯形​$ABCD$​的周长为​$20+12+10+6=48(\mathrm {cm})$​，
面积为​$\frac {(12+20)×6}{2}=96(\mathrm {cm}^2)$​，
​$ $​若当线段​$PQ $​平分梯形​$ABCD$​周长，
则​$AP+DQ+AD=\frac {1}{2}×48=24(\mathrm {cm})$​，
​$ $​即​$4t+12-t+6=24$​，
解得​$t=2$​，
此时，梯形​$APQD$​的面积为​$\frac {(8+10)×6}{2}=54(\mathrm {cm}^2)$​，
​$54≠\frac {1}{2}×96=48$​。
∴不存在某一时刻​$t$​，使线段​$PQ $​恰好把梯形
​$ABCD$​的周长和面积同时平分。
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解：​$(2)$​同​$(1)$​可证​$∠ ABM=60°$​，
∴​$∠ CBM=∠ ABC-∠ ABM=90°-60°=30°$​。
​$ $​在正方形​$ABCD$​中，​$AB=BC$​，​$∠ A=∠ C=90°$​。
​$ $​由折叠知​$AB=BM$​，​$∠ PMB=∠ A=90°$​，
∴​$BC=BM$​，​$∠ BMQ=∠ C=90°$​。
​$ $​在​$Rt△ BMQ $​和​$Rt△ BCQ_{中}$​，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {BM}=BC， \\BQ=BQ， \end {cases}$​
∴​$Rt△ BMQ≌Rt△ BCQ(\mathrm {HL})$​，
∴​$∠ MBQ=∠ CBQ$​，
∴​$∠ MBQ=\frac {1}{2}∠ CBM=\frac {1}{2}×30°=15°$​。
​$ (3)\ \mathrm {AP} $​的长为​$\frac {24}{5}\mathrm {cm}_{或}\frac {8}{7}\mathrm {cm}$​。
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