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$2$或$\sqrt{5}$或$\frac{5}{3}$
解：​$(1) $​∵四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$∠ B=90°$​，
∴​$AC=\sqrt {AB^2+BC^2}=\sqrt {3^2+4^2}=5$​。
由矩形旋转可知​$CB=CF=4$​，
∴​$AF=AC-CF=5-4=1$​。
​$ (2) $​如图​$①$​，过点​$C$​作​$CH⊥ BD$​于点​$H$​。
​$ $​在​$Rt△ BDC$​中，​$BD=\sqrt {BC^2+CD^2}=5$​，
由矩形旋转可知​$CB=CF$​，
∵​$CH⊥ BD$​，
∴​$BH=FH=\frac {1}{2}BF$​。
∵​$S_{△ BDC}=\frac {1}{2}BD· CH=\frac {1}{2}BC· CD$​，
∴​$CH=\frac {12}{5}$​，
∴​$BH=\sqrt {BC^2-CH^2}=\frac {16}{5}$​，
∴​$BF=2BH=\frac {32}{5}$​，
∴​$DF=BF-BD=\frac {7}{5}$​，
∴​$S_{△ CDF}=\frac {1}{2}DF· CH=\frac {1}{2}×\frac {7}{5}×\frac {12}{5}=\frac {42}{25}$​。

解​$：(3)BG²+DF²= 50$​
​$ B$​
$4$
$\frac{3}{2}$
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