解：$(2) $如图$①$，连接$EG$，
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$BE// CG$，$∠ ABC=∠ C=90°$。
∵$BE=CG=4t\mathrm {cm}$，
∴四边形$BCGE$是平行四边形。
∵$∠ C=90°$，
∴平行四边形$BCGE$是矩形，
∴$EG=BC$，$EG// BC$。
∵$M，N$分别是$EF，FG $的中点，
∴$MN=\frac {1}{2}EG=\frac {1}{2}BC$，$EG// MN// BC$，
∴$MN// BF$，
当$MN=BF $时，四边形$BMNF $是平行四边形，
此时$BF=\frac {1}{2}BC$，
即$3t=\frac {1}{2}×8$，
解得$t=\frac {4}{3}$，
故当$t=\frac {4}{3}$时，四边形$BMNF $是平行四边形。
$ (3) $存在实数$t$，使得点$B'$与点$O$重合，如图②，
连接$B'B$交$EF $于点$H$，连接$AC，BD$，
∵四边形$ABCD$为矩形，$AB=6\ \mathrm {cm}$，$BC=8\ \mathrm {cm}$，
∴$AC=BD=\sqrt {6^2+8^2}=10(\mathrm {cm})$，
∴$BO=\frac {1}{2}BD=5\ \mathrm {cm}$。
∵$△ EBF $关于直线$EF $的对称图形是$△ EB'F$，
∴$EF $是线段$B'B$的垂直平分线，
∴$BH=B'H$，
当点$B'$与点$O$重合时，
$BH=B'H=\frac {1}{2}×5=\frac {5}{2}(\mathrm {cm})$。
$ $在$Rt△ BEF_{中}$，$BH⊥ EF$，$BE=4t\mathrm {cm}$，$BF=3t\mathrm {cm}$，
∴$EF=\sqrt {BE^2+BF^2}=5t\mathrm {cm}$。
∵$S_{△ BEF}=\frac {1}{2}EF· BH=\frac {1}{2}BE· BF$，
即$\frac {5}{2}·5t=4t·3t$，
解得$t=\frac {25}{24}$。
