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$\sqrt{a^2+b^2}＜AB≤\sqrt{a^2+b^2}+c$
解​$：(3) ①$​如图​$②$​，作射线​$ AN$​，并截取​$ NG = AN$​，
连接​$ CG$​，​$BG$​，​$MN$​，
设​$ AD $​和​$ BC $​的延长线交于​$ H$​，
∵​$$$$​ ​$点$​ N ​$是$​ CD $的中点，
∴​$DN = CN$​。
∵​$∠ AND = ∠ CNG$​，​$AN = NG$​，
∴​$△ ADN ≌ △ GCN(\mathrm {SAS})$​，
∴​$CG = AD = a$​，​$∠ DAN = ∠ CGN$​，
∴​$AD // CG$​，
∴​$∠ HCG = ∠ AHC$​。
∵​$M $​是​$ AB $​的中点，​$NG = AN$​，
∴​$MN = \frac {1}{2}BG$​。
∵​$AB $​是邻余线，
∴​$∠ DAB + ∠ CBA = 90°$​，
∴​$∠ AHC = 90°$​，
∴​$∠ HCG = 90°$​，
∴​$∠ BCG = 90°$​。
∵​$AD = a = CG$​，​$BC = b$​，
∴​$BG = \sqrt {CG^2 + BC^2} = \sqrt {a^2 + b^2}$​，
∴​$MN = \frac {\sqrt {a^2 + b^2}}{2}$​，
∴​$S_{正方形EMFN} = \frac {1}{2}EF · MN = \frac {1}{2}MN^2 = \frac {a^2 + b^2}{8}$​。
$AE=BF$
$AE^2+CF^2=EF^2$
解：​$ (2) $​线段​$AE，CF，EF $​之间的数量关系是
​$AE^2+CF^2=EF^2$​。
证明：
∵四边形​$ABCD$​、四边形​$A_1B_1C_1O$​均为矩形，
矩形​$ABCD$​的中心为​$O$​，
∴​$OA=OC$​，​$∠ DAB=∠ A_1OC_1=90°$​，
​$AD// BC$​，
∴​$∠ PAO=∠ FCO$​。
​$ $​在​$△ OAP $​与​$△ OCF_{中}$​，
​$ \begin {cases} ∠ AOP=∠ COF \\OA=OC \\∠ PAO=∠ FCO \end {cases}$​
∴​$△ OAP≌△ OCF(\mathrm {ASA})$​，
∴​$AP=CF$​，​$OP=OF$​。
∵​$∠ A_1OC_1=90°$​，
∴​$EP=EF$​。
​$ $​在​$Rt△ PAE$​中，
由勾股定理得​$AE^2+AP^2=EP^2$​，
∴​$AE^2+CF^2=EF^2$​。
​$ (3)\ \mathrm {BF} $​的长为​$\frac {13}{8}$​或​$\frac {37}{8}$​。
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