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对角线互相平分的四边形是平行四边形
证明：​$(2)$​∵​$ $​四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$ AB// CD$​，​$AB=CD$​，
∴​$ ∠ ABC+∠ BCD=180°$​。
又∵​$ AC=BD$​，​$BC=CB$​，
∴​$ △ ABC≌△ DCB(\mathrm {SSS})$​，
∴​$ ∠ ABC=∠ DCB=90°$​，
∴​$ $​四边形​$ABCD$​是矩形。
证明：​$(1) $​∵​$ $​四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$ AD// BC$​，即​$AF// BE$​，
∴​$ ∠ AFB=∠ EBF$​，​$∠ FAE=∠ BEA$​。
∵​$ O$​为​$BF $​的中点，
∴​$ BO=FO$​，
∴​$ △ AOF≌△ EOB(\mathrm {AAS})$​，
∴​$ FA=BE$​。
又∵​$ AF// BE$​，
∴​$ $​四边形​$ABEF $​是平行四边形。
又∵​$ AB=AF$​，
∴​$ $​四边形​$ABEF $​是菱形。
​$ (2) $​∵​$ AD=BC$​，​$AF=BE$​，
∴​$ DF=CE=1$​。
∵​$ $​平行四边形​$ABCD$​的周长为​$22$​，
∴​$ $​菱形​$ABEF $​的周长为​$22-2=20$​，
∴​$ AB=20÷4=5$​。
∵​$ $​四边形​$ABEF $​是菱形，
∴​$ ∠ BAE=\frac {1}{2}∠ BAD=\frac {1}{2}×120°=60°$​，
又∵​$ AB=BE$​，
∴​$ △ ABE$​是等边三角形，
∴​$ AE=AB=5$​。
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