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证明：​$(1)$​∵​$ $​四边形​$APCD$​是正方形，
∴​$ PD$​平分​$∠ APC$​，​$PC=PA$​，
∴​$ ∠ APD=∠ CPD=45°$​。
又∵​$ PE=PE$​，
∴​$ △ AEP≌△ CEP(\mathrm {SAS})$​。
​$ (2)\ \mathrm {CF}⊥ AB$​，理由如下：
如图，设​$CF $​与​$AP $​交于点​$M$​。
∵​$ △ AEP≌△ CEP$​，
∴​$ ∠ EAP=∠ ECP$​。
∵​$ ∠ EAP=∠ BAP$​，
∴​$ ∠ BAP=∠ FCP$​。
∵​$ ∠ FCP+∠ CMP=90°$​，
​$∠ AMF=∠ CMP$​，
∴​$ ∠ AMF+∠ BAP=90°$​，
∴​$ ∠ AFM=90°$​，
∴​$ CF⊥ AB$​。
​$ (3) $​如图，作​$CN⊥ BG $​于点​$N$​，
则​$∠ CNP=90°$​，
∴​$ ∠ PCN+∠ CPN=90°$​。
∵​$ ∠ APC=90°$​，
∴​$ ∠ APB+∠ CPN=90°$​，
∴​$ ∠ PCN=∠ APB$​。
​$ $​在​$△ ABP $​和​$△ PNC$​中，
​$ \begin {cases}∠ B=∠ PNC=90°， \\∠ APB=∠ PCN， \\AP=PC，\end {cases}$​
∴​$ △ ABP≌△ PNC(\mathrm {AAS})$​，
∴​$ PB=CN$​，​$PN=AB=8$​。
∵​$ ∠ CNP=∠ B=∠ CFB=90°$​，
∴​$ $​四边形​$BFCN$​是矩形，
∴​$ CN=BF$​，​$CF=BN$​，
∴​$ PB=BF$​。
∵​$ △ AEP≌△ CEP$​，
∴​$ EC=EA$​，
∴​$ △ AEF $​的周长​$=EA+EF+AF$​
​$=EC+EF+AF$​
​$=CF+AF$​
​$=BN+AF$​
​$=(8+PB)+(8-BF)$​
​$=16$​。
平行四边形
解：​$(2)$​连接​$GH$​，
由​$ (1)$​得​$AG=BH$​，​$AG// BH$​，​$∠ B=90°$​，
∴​$ $​四边形​$ABHG $​是矩形，
∴​$ GH=AB=6$​，
​$ $​由勾股定理得​$AC=\sqrt {AB^2+BC^2}$​
​$=\sqrt {6^2+8^2}=10$​。
如图①，当四边形​$EGFH$​是矩形时，
​$EF=GH=6$​。
∵​$ AE=CF=t$​，
∴​$ EF=10-2t=6$​，解得​$t=2$​。
如图②，当四边形​$EGFH$​是矩形时，
​$EF=GH=6$​，
∵​$ AE=CF=t$​，
∴​$ EF=t+t-10=2t-10=6$​，解得​$t=8$​。
综上，当四边形​$EGFH$​为矩形时，​$t=2$​或​$8$​。
​$ (3)$​如图​$③$​，连接​$AH$​，​$CG$​，​$GH$​，
设​$AC$​与​$GH$​交于点​$O$​，​$M$​为​$AD$​边的中点，​$N$​
为​$BC$​边的中点。
∵​$ $​四边形​$EGFH$​为菱形，
∴​$ GH⊥ EF$​，​$OG=OH$​，​$OE=OF$​，
又∵​$ OA=OC$​，
∴​$ $​四边形​$AGCH$​为菱形，
∴​$ AG=CG$​。
​$ $​设​$AG=CG=x$​，则​$DG=8-x$​，
​$ $​在​$Rt△ CDG_{中}$​，
由勾股定理得：
​$ CD^2+DG^2=CG^2$​，
即​$6^2+(8-x)^2=x^2$​，
​$ 36+64-16x+x^2=x^2$​，
​$ 100-16x=0$​，
​$ $​解得​$x=\frac {25}{4}$​。
∴​$ MG=AG-AM=\frac {25}{4}-4=\frac {9}{4}$​，
即​$t=\frac {9}{4}$​。
答：当四边形​$EGFH$​为菱形时，​$t=\frac {9}{4}$​。

C
假
解：​$(3)$​∵​$ AC$​是凸四边形​$ABCD$​的
和谐线，且​$AB=BC$​，
∴​$ △ ACD$​是等腰三角形。
∵​$ $​在等腰直角三角形​$ABD$​中，
​$AB=AD$​，
∴​$ AB=AD=BC$​。
​$ ① $​当​$AD=AC$​时，
​$ AB=AC=BC$​，
∴​$ △ ABC$​是等边三角形，
∴​$ ∠ ABC=60°$​。
​$ ② $​当​$DA=DC$​时，
​$ AB=AD=BC=CD$​，
又∵​$ ∠ BAD=90°$​，
∴​$ $​四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$ ∠ ABC=90°$​。
​$ ③ $​当​$CA=CD$​时，
​$ $​过点​$C$​作​$CE⊥ AD$​于点​$E$​，
过点​$B$​作​$BF⊥ CE$​于点​$F$​，
∵​$ CA=CD$​，​$CE⊥ AD$​，
∴​$ AE=ED$​，​$∠ ACE=∠ DCE$​。
∵​$ ∠ BAD=∠ AEF=∠ BFE=90°$​，
∴​$ $​四边形​$ABFE$​是矩形，
∴​$ BF=AE=\frac {1}{2}AD$​，
又∵​$ AB=AD=BC$​，
∴​$ BF=\frac {1}{2}BC$​，
​$ $​在​$Rt△ BCF_{中}$​，​$∠ BCF=30°$​。
∵​$ AB=BC$​，
∴​$ ∠ ACB=∠ BAC$​，
又∵​$ AB// CE$​，
∴​$ ∠ BAC=∠ ACE$​，
∴​$ ∠ ACB=∠ BAC=\frac {1}{2}∠ BCF=15°$​，
∴​$ ∠ ABC=180°-15°×2=150°$​。
综上，​$∠ ABC$​的度数为​$60°$​或​$90°$​或​$150°$​。
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