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证明：因为$N=5^2×3^{2n+1}×2^n-3^n×6^{n+2}$

$=25×3^{2n+1}×2^n-3^n×6^n×36$

$=25×3^{2n+1}×2^n-3^n×3^n×2^n×3×12$

$=25×3^{2n+1}×2^n-12×3^{2n+1}×2^n$

$=13×3^{2n+1}×2^n，$

所以$N$能被$13$整除。

$3$

$5$

$2$

 解：

 (2)因为$(4,5)=a，$$(4,6)=b，$$(4,30)=c，$

所以$4^a=5，$$4^b=6，$$4^c=30。$

因为$5×6=30，$

所以$4^a·4^b=4^c，$

所以$a+b=c。$

 (3)设$(m,8)=p，$$(m,3)=q，$$(m,t)=r，$

所以$m^p=8，$$m^q=3，$$m^r=t，$

因为$(m,8)+(m,3)=(m,t)，$

所以$p+q=r，$

所以$m^{p+q}=m^r，$

所以$m^p· m^q=m^r，$

即$8×3=t，$

所以$t=24。$