第126页 - 江苏版启东中学作业本七年级数学（上下册）

$45$

解：

$ (2) $∵$CE$平分$∠ ACB，$

∴$∠ ACE=∠ BCE.$

∵$CF $平分$∠ ECB，$

∴$∠ ECF=\frac {1}{2}∠ ECB=\frac {1}{2}∠ ACE.$

∵$∠ E+∠ EAF=∠ F+∠ ECF，$

∴$45°+∠ EAF=∠ F+\frac {1}{2}∠ ACE，①$

$ $同理可得$∠ E+∠ EAB=∠ B+∠ ECB，$

∴$45°+2∠ EAF=90°+∠ ACE，$

∴$∠ EAF=\frac {45°+∠ ACE}{2}，②$

$ $把$②$代入$①，$得$45°+\frac {45°+∠ ACE}{2}=∠ F+\frac {1}{2}∠ ACE，$

∴$∠ F=67.5°，$

$ $即$∠ AFC=67.5°.$

$ (3) $设$∠ FAH=α，$

∵$AF $平分$∠ EAB，$

∴$∠ FAH=∠ EAF=α.$

∵$∠ AFM=\frac {1}{3}∠ AFC=\frac {1}{3}×67.5°=22.5°，$

又∵$∠ E+∠ EAF=∠ AFC+∠ FCH，$

∴$45°+α=67.5°+∠ FCH，$

∴$∠ FCH=α-22.5°.①$

∵$∠ AHN=\frac {1}{3}∠ AHC=\frac {1}{3}(∠ B+∠ BCH)=\frac {1}{3}(90°+2∠ FCH)=30°+\frac {2}{3}∠ FCH，$

又∵$∠ FAH+∠ AFM=∠ AHN+∠ FPH，$

∴$α+22.5°=30°+\frac {2}{3}∠ FCH+∠ FPH，②$

$ $把$①$代入$②，$得$∠ FPH=\frac {α+22.5°}{3}.$

∵$∠ FCH=m∠ FAH+n∠ FPH，$

∴$α-22.5°=mα+n·\frac {α+22.5°}{3}，$

$ $解得$m=2，n=-3.$

$(\frac{m+n}{2})°$

$(1) $证明$：$由题意$，$在$△ AOD$中$，$

$∠ A+∠ D+∠ AOD=180°，$

$ $所以$∠ A+∠ D=180°-∠ AOD.$

$ $在$△ BOC$中$，∠ B+∠ C+∠ BOC=180°，$

所以$∠ B+∠ C=180°-∠ BOC.$

$ $又$∠ AOD=∠ BOC，$

所以$∠ A+∠ D=∠ B+∠ C.$

$ (2) ①$解$：$由题意$，$结合$(1)$可得

$ ∠ A + ∠ ADC = ∠ ABC + ∠ C， $

$∠ A + ∠ ADP = ∠ P+∠ ABP.$

∵$DP $平分$∠ ADC，BP $平分$∠ ABC，$

∴$∠ ADP=\frac {1}{2}∠ ADC，$

$∠ ABP=\frac {1}{2}∠ ABC，$

∴$∠ A+\frac {1}{2}∠ ADC=∠ P+\frac {1}{2}∠ ABC，$

∴$2∠ A+∠ ADC=2∠ P+∠ ABC.$

又∵$∠ A+∠ ADC=∠ ABC+∠ C，$

∴$∠ A=2∠ P-∠ C，$

∴$∠ P=\frac {∠ A+∠ C}{2}.$

又∵$∠ A=m°=40°，∠ C=n°=32°，$

∴$∠ P=\frac {40°+32°}{2}=36°.$

$ (3) $解$：AD// BC.$理由如下$：$

$ $由题意$，$根据$(2)$可得

$∠ P=\frac {∠ DAB+∠ DCB}{2}，$

$ $同理可得$∠ Q=\frac {∠ ABC+∠ ADC}{2}.$

又∵$∠ P=∠ Q，$

∴$\frac {∠ DAB+∠ DCB}{2}=\frac {∠ ABC+∠ ADC}{2}，$

∴$∠ DAB+∠ DCB=∠ ABC+∠ ADC.$

又∵$∠ DAB+∠ ADC=∠ DCB+∠ ABC，$

∴$2∠ DAB + ∠ DCB + ∠ ADC = 2∠ ABC + ∠ DCB+∠ ADC，$

∴$∠ DAB=∠ ABC，$

∴$AD// BC.$