证明：
$(1)$如答图$①，$过点$A$作$ED// BC，$
所以$∠ B=∠ EAB，$$∠ C=∠ DAC。$
$ $又因为$∠ EAB+∠ BAC+∠ DAC=180°，$
所以$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°。$
$ (2)$证明：如答图②，过点$B$作$BM// AE。$
$ $因为$AE// CD，$
所以$AE// BM// CD，$
所以$∠ ABM=∠ A，$$∠ CBM=∠ C，$
$ $所以$∠ ABM+∠ CBM=∠ A+∠ C，$
即$∠ ABC=∠ A+∠ C。$
$(3)$因为$AF $平分$∠ BAE，$$CF $平分$∠ BCD，$
所以$∠ EAF=∠ BAF，$$∠ DCF=∠ BCF。$
$ $由$(2)$可知$∠ AFC=∠ EAF+∠ DCF，$
所以$∠ BAF+∠ BCF=∠ EAF+∠ DCF=∠ AFC。$
$ $由四边形的内角和等于$360°，$得$∠ ABC+∠ BAF+∠ BCF+∠ AFC=360°，$
$ $即$∠ ABC+2∠ AFC=360°，$
所以$∠ AFC=\frac {1}{2}(360°-∠ ABC)。$
$ $因为$∠ ABC=100°，$
所以$∠ AFC=\frac {1}{2}×(360°-100°)=130°。$
$(4)$∵$AF_{2}$平分$∠ EAF_{1}，$
$CF_{2}$平分$∠ DCF_{1}，$
所以$∠ EAF_{2}=\frac {1}{2}∠ EAF_{1}，$
$∠ DCF_{2}=\frac {1}{2}∠ DCF_{1}，$
$ $所以$∠ EAF_{2}+∠ DCF_{2}=\frac {1}{2}(∠ EAF_{1}+∠ DCF_{1})。$
$ $由$(2)$可知$∠ F_{1}=∠ EAF_{1}+∠ DCF_{1}，$
$∠ F_{2}=∠ EAF_{2}+∠ DCF_{2}，$
所以$∠ F_{2}=\frac {1}{2}∠ F_{1}，$
$ $由$(3)$可知$∠ F_{1}=\frac {1}{2}(360°-∠ ABC)，$
又$∠ ABC=x°，$
所以$∠ F_{1}=\frac {1}{2}(360°-x°)，$
$ $所以$F_{2}=\frac {1}{2}∠ F_{1}=\frac {1}{2^2}(360°-x°)，$
同理，$∠ F_{3}=\frac {1}{2}∠ F_{2}=\frac {1}{2^3}(360°-x°)\dots \dots$
以此类推，$∠ F_{n}=\frac {1}{2^{n}}(360°-x°)。$
