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解：
​$ (1)∠ BDC=∠ A+∠ ABD+∠ ACD.$​
理由：∵​$∠ BDC+∠ DBC+∠ DCB=180°，$​
​$ ∠ A+∠ ABC+∠ ACB$​
​$=∠ A+∠ ABD+∠ ACD+∠ DBC+∠ DCB$​
​$=180°，$​
∴​$∠ BDC=∠ A+∠ ABD+∠ ACD.$​
​$ (2)$​由​$(1)$​可得​$∠ BDC=∠ A+∠ ABD+∠ ACD=143°.$​
∵​$∠ BDC=145°≠143°，$​
∴这个零件不合格.
解：
​$ (1)$​∵​$BE$​平分​$∠ ABC，$​​$∠ ABC=40°，$​
∴​$∠ ABP=\frac {1}{2}∠ ABC=\frac {1}{2}×40°=20°.$​
∵​$CP// AB，$​
∴​$∠ BPC=∠ ABP=20°.$​
​$ (2)$​设​$AC$​与​$BP_{交点为}O.$​
∵​$BE$​平分​$∠ ABC，$​
∴​$∠ ABP=∠ CBP.$​
∵​$∠ PBC=∠ PCA，$​
∴​$∠ ABP=∠ PCA.$​
​$ $​在​$△ ABO$​和​$△ CPO$​中，​$∠ A+∠ ABP+∠ AOB=180°，$​
​$ ∠ BPC+∠ PCA+∠ POC=180°，$​
∵​$∠ AOB=∠ POC，$​
​$∠ ABP=∠ PCA，$​
∴​$∠ BPC=∠ A=100°.$​
​$ (3)$​∵​$∠ ABC=40°，$​​$BP $​平分​$∠ ABC，$​
∴​$∠ PBC=\frac {1}{2}∠ ABC=20°.$​
​$ ①$​当​$CP⊥ BC$​时，如答图①，则​$∠ BCP=90°.$
​
∵​$∠ PBC=20°，$​
∴​$∠ BPC=70°.$​
​$ ②$​当​$CP⊥ AC$​时，如答图②，则​$∠ ACP=90°，$
​
​$ $​在​$△ BPC$​中，​$∠ BPC=180°-20°-30°-90°=40°.$​
​$ ③$​当​$CP⊥ AB$​时，设直线​$CP $​与​$BA$​的延长线交于点​$G，$​
如答图③，则​$∠ BGC=90°.$
​
∵​$∠ ABC=40°，$​
∴​$∠ BCG=50°.$​
​$ $​在​$△ BPC$​中，​$∠ BPC=180°-50°-20°=110°.$​
综上所述，​$∠ BPC$​的度数为​$70°$​或​$40°$​或​$110°.$​
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