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$\frac{\sqrt{29}}{2}$

 证明：$\because E,F$分别是$AC,AB$的中点，

$\therefore EF$是$△ ABC$的中位线，

 $\therefore EF// BC，$即$EF// GD，$

$\therefore ∠ EFO=∠ GDO。$

 $\because O$是$DF$的中点，

$\therefore OF=OD。$

 在$△ OEF$和$△ OGD$中，

 $\begin{cases}∠ EFO=∠ GDO, \\OF=OD, \\∠ EOF=∠ GOD,\end{cases}$

 $\therefore △ OEF≌△ OGD(\mathrm{ASA})，$

$\therefore EF=GD，$

 $\therefore$ 四边形$DEFG$是平行四边形。

 (1) 证明：在$△ AOB$和$△ DOC$中，

 $\begin{cases}∠ ABO=∠ DCO, \\OB=OC, \\∠ AOB=∠ DOC,\end{cases}$

 $\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{ASA})，$

$\therefore AO=DO。$

 $\because E,F$分别是$AO,DO$的中点，

 $\therefore OE=\frac{1}{2}AO，$$OF=\frac{1}{2}DO，$

$\therefore OE=OF。$

 (2) 证明：$\because OB=OC，$$OE=OF，$

$\therefore$ 四边形$BECF$是平行四边形，$BC=2OB，$$EF=2OE。$

 $\because ∠ ABO=90°，$$E$是$AO$的中点，$∠ A=30°，$

 $\therefore ∠ AOB=60°，$$BE=\frac{1}{2}AO=OE，$

$\therefore △ BOE$为等边三角形

$\therefore OB=OE，$

 $\therefore BC=EF，$

$\therefore$ 四边形$BECF$是矩形。