第12页 - 通城学典课时作业本八年级数学苏科版江苏

 证明：如图，过点$D$作$DF// AB，$交$BC$于点$F。$

 $\because AD// BC，$$DF// AB，$

$\therefore$ 四边形$ABFD$为平行四边形，

$\therefore BF=AD，$$AB=DF。$

 $\because BE=\frac{1}{2}(AD+BC)，$$BE=BF+EF，$

 $\therefore BF+EF=\frac{1}{2}(BF+BF+EF+EC)，$

$\therefore EF=EC。$

 $\because DE⊥ BC，$

$\therefore$ 直线$DE$垂直平分线段$FC，$

$\therefore DF=DC，$

$\therefore AB=DC。$

$ (1) $证明：∵$PQ $垂直平分$BE，$

∴$QB=QE，$$OB=OE。$

∵四边形$ABCD$是矩形，

∴$AD// BC，$

$∴∠ QBO=∠ PEO。$

在$△ BOQ$和$△ EOP$中，

$\begin {cases}∠ QBO=∠ PEO， \\OB=OE， \\∠ BOQ=∠ EOP，\end {cases}$

$∴△ BOQ≌△ EOP(\mathrm{ASA})，$

$∴QB=PE。$

又$∵BC// AD，$即$QB// PE，$

$∴$ 四边形$BPEQ$是平行四边形。

又$∵QB=QE，$

$∴$ 四边形$BPEQ$是菱形。

(2) 解：由(1)得$OB=OE，$

$∴BE=2OB。$

$∵F$为$AB$的中点，

$∴BF=FA，$

$∴OF$为$△ BAE$的中位线，

$∴AE=2OF。$

$∵OF+OB=9，$

$∴AE+BE=2OF+2OB=18。$

设$AE=x，$则$BE=18-x。$

$∵$ 四边形$ABCD$是矩形，

$∴∠ A=90°，$

在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$6^2+x^2=(18-x)^2，$解得$x=8。$

$∴AE=8，$$BE=10，$

$∴OB=\frac {1}{2}BE=5。$

设$PE=y，$则$AP=8-y。$

由(1)得四边形$BPEQ$是菱形，

$∴BP=PE=y，$$PQ=2PO，$

在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$6^2+(8-y)^2=y^2，$解得$y=\frac {25}{4}。$

$∴BP=\frac {25}{4}，$在$\mathrm{Rt}△ BOP$中，$PO=\sqrt {BP^2-OB^2}=\frac {15}{4}，$

$∴PQ=2PO=\frac {15}{2}。$

$ (1) $证明：过点$G_{作}GP⊥ BC$于点$P，$则$∠ BPG=∠ FPG=90°。$

∵四边形$ABCD$是正方形，

∴$AB=CB，$$∠ A=∠ ABC=∠ ECB=90°，$

∴四边形$ABPG $是矩形，$∠ FPG=∠ ECB，$

∴$PG=AB，$

∴$PG=CB。$

∵$GP⊥ BC，$$FG⊥ BE，$

∴$∠ PGF+∠ PFG=90°，$$∠ CBE+∠ PFG=90°，$

∴$∠ PGF=∠ CBE。$

$ $在$△ PGF $和$△ CBE$中，

$ \begin {cases}∠ PGF=∠ CBE， \\PG=CB， \\∠ FPG=∠ ECB，\end {cases}$

∴$△ PGF≌△ CBE(\mathrm {ASA})，$

∴$GF=BE。$

$ (2) $解：由$(1)$得$GF=BE，$$∠ ECB=90°。$

∵在$Rt△ BCE$中，$M$是$BE$的中点，$CM=1，$

∴$BE=2CM=2，$

∴$GF=2。$

$ (3) $解：∵四边形$ABCD$是正方形，

∴$∠ ECB=90°。$

∵在$Rt△ BCE$中，$M$是$BE$的中点，$CM=3，$

∴$BE=2ME=2CM=6，$

∴$ME=3。$

$ $同$ (1)$得$CG=BE=6。$

∵$CG⊥ BE，$

∴$S_{四边形GMCE}=\frac {1}{2}CG· ME=\frac {1}{2}×6×3=9。$