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 证明：

 方法1：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，

$\therefore ∠ A=∠ C，$$AD=CB。$

 在$△ AMD$和$△ CNB$中，

 $\begin{cases}AD=CB, \\∠ A=∠ C, \\AM=CN,\end{cases}$

 $\therefore △ AMD ≌ △ CNB(\mathrm{SAS})，$

$\therefore DM=BN。$

 方法2：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，

$\therefore AB=CD，$$AB// CD，$即$DN// BM。$

 $\because AM=CN，$

$\therefore AB-AM=CD-CN，$即$BM=DN，$

 $\therefore$ 四边形$MBND$是平行四边形，

$\therefore DM=BN。$

 解：过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H。$

 $\because AD// BC，$$∠ BCD=90°，$

$\therefore ∠ D=180°-∠ BCD=180°-90°=90°。$

 $\because AH⊥ BC，$

$\therefore ∠ AHB=∠ AHC=90°，$

 $\therefore ∠ D=∠ BCD=∠ AHC=90°，$

$\therefore$ 四边形$AHCD$是矩形，

 $\therefore CH=AD=4\ \mathrm{dm}，$

$\therefore BH=BC-CH=10-4=6(\mathrm{dm})，$

 $\therefore BH=AH，$

$\therefore ∠ B=∠ BAH=45°。$

 $\because$ 四边形$EFCG$是矩形，且点$F$在边$BC$上，

$\therefore ∠ EFC=90°，$

 $\therefore ∠ EFB=90°，$

$\therefore ∠ B=∠ BEF=45°，$

$\therefore BF=EF=5\ \mathrm{dm}，$

 $\therefore CF=BC-BF=10-5=5(\mathrm{dm})，$

 $\therefore$ 矩形桌面的面积为$EF· CF=5×5=25(\mathrm{dm}^2)。$