$ (1)$解：∵矩形$OABC$的顶点$B$的坐标为$(3，4)，$
∴$OC=AB=4，$$OA=BC=3。$
$ $在$y=-\frac {2}{3}x+b$中，令$x=0，$得$y=b，$
∴点$D$的坐标为$(0，b)，$
∴$OD=b。$
∵$OD=BE，$
∴$BE=b，$
∴点$E$的坐标为$(3，4-b)。$
∵点$E(3，4-b)$在一次函数$y=-\frac {2}{3}x+b$的图象上，
∴$4-b=-\frac {2}{3}×3+b，$解得$b=3。$
$ (2)$解：由$(1)$得点$D，$$E$的坐标分别为$(0，3)，$$(3，1)，$$OA=3，$
∴$OD=3，$$AE=1，$
∴$S_{四边形OAED}=\frac {1}{2}(AE+OD)· OA=\frac {1}{2}×(1+3)×3=6。$
∵$△ ODM$的面积与四边形$OAEM$的面积之比为$1：3，$
∴$S_{△ ODM}=\frac {1}{4}S_{四边形OAED}=\frac {3}{2}。$
$ $设点$M$的坐标为$(t，-\frac {2}{3}t+3)，$易知$t＞0，$则点$M$到$OD$的距离为$t，$
∴$\frac {1}{2}×3· t=\frac {3}{2}，$解得$t=1，$
∴点$M$的坐标为$(1，\frac {7}{3})。$
$ (3)$解：设点$M$的坐标为$(m，-\frac {2}{3}m+3)。$由$(1)$得点$D，$$E$的坐标分别为$(0，3)，$$(3，1)，$
∴$OD=3，$$AE=1。$
分两种情况讨论：
$ ① $当$OD$作为菱形的对角线时，得菱形$OMDN，$连接$MN。$
∴$MN⊥ OD，$$MN$与$OD$互相平分，
∴$-\frac {2}{3}m+3=\frac {1}{2}×3，$解得$m=\frac {9}{4}，$
∴点$M$的坐标为$(\frac {9}{4}，\frac {3}{2})，$此时点$N$的坐标为$(-\frac {9}{4}，\frac {3}{2})。$
$ ② $当$OD$作为菱形的一边时，得菱形$OMND。$
∴$MN// OD，$$MN=OM=OD=3，$
∴点$N$的坐标为$(m，-\frac {2}{3}m+6)。$
$ $过点$M$作$MP⊥ x$轴于点$P，$则在$Rt△ OPM$中，$OP=m，$$MP=-\frac {2}{3}m+3，$
$ $由勾股定理得$\mathrm {m^2}+(-\frac {2}{3}m+3)^2=3^2，$
$ $化简得$\frac {13}{9}\mathrm {m^2}-4m=0，$
$ $由题意可知点$M$与点$D$不重合，即$m≠0，$
∴$m=\frac {36}{13}，$
$ $此时点$N$的坐标为$(\frac {36}{13}，\frac {54}{13})。$
综上所述，满足题意的点$N$的坐标为$(-\frac {9}{4}，\frac {3}{2})$或$(\frac {36}{13}，\frac {54}{13})。$
