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$PQ=\frac{1}{2}BO$

$PQ⊥ BO$

$\frac{3}{16}$

$ (2)$证明：连接$O'P_{并延长}，$交$BC$于点$F。$

∵四边形$ABCD$是正方形，

∴$OA=OB，$$AB=BC，$$∠ ABC=90°，$$∠ AOB=90°。$

∵将$△ AOB$绕点$A$按顺时针方向旋转$45°$得到$△ AO'E，$

∴$△ AO'E$是等腰直角三角形，$∠ AOB=∠ AO'E=90°，$$O'E=O'A，$

∴$∠ BO'E=∠ ABC=90°，$

∴$O'E// BC，$

∴$∠ O'EP=∠ FCP，$$∠ PO'E=∠ PFC。$

又∵$P $为$CE$的中点，

∴$EP=CP，$

∴$△ O'PE ≌ △ FPC(\mathrm {AAS})，$

∴$O'E=FC=O'A，$$O'P=FP，$

∴$AB-O'A=BC-FC，$

∴$BO'=BF，$

∴在$Rt△ O'BF_{中}，$$∠ O'BP=\frac {1}{2}∠ O'BF=45°，$$BP⊥ O'F，$$BP=\frac {1}{2}O'F=O'P，$

∴在$△ BPO'$中，由$Q $为$O'B$的中点，得$PQ⊥ O'B，$

∴在$△ PQB$中，$∠ QPB=∠ QBP=45°，$

∴$PQ=BQ，$

∴$△ PQB$的形状是等腰直角三角形。