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​$ (1)$​证明：∵四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$OB=OD。$​
∵​$E$​是​$AD$​的中点，
∴​$AE=DE，$​
∴​$OE$​是​$△ ABD$​的中位线，
∴​$OE// FG。$​
∵​$OG// EF，$​
∴四边形​$OEFG $​是平行四边形。
∵​$EF⊥ AB，$​
∴​$∠ EFG=90°，$​
∴四边形​$OEFG $​是矩形。
​$ (2)$​解：∵四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$BD⊥ AC，$​​$AB=AD=10，$​
∴​$∠ AOD=90°。$​
∵在​$Rt△ AOD$​中，​$E$​是​$AD$​的中点，
∴​$OE=AE=\frac {1}{2}AD=5。$​
​$ $​由​$(1)$​得四边形​$OEFG $​是矩形，
∴​$FG=OE=5。$​
∵​$EF⊥ AB，$​​$AE=5，$​​$EF=4，$​
∴在​$Rt△ AEF_{中}，$​​$AF=\sqrt {AE^2-EF^2}=\sqrt {5^2-4^2}=3，$​
∴​$BG=AB-AF-FG=10-3-5=2。$​
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