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【猜想运用】
解：$\because x＞0，$
$\therefore x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{x·\frac{1}{x}}=2，$
当且仅当$x=\frac{1}{x}，$即$x=1$时，等号成立，
$\therefore$ 当$x=1$时，函数$y$的值最小，最小值是2。
【变式探究】
解：$\because x＞3，$
$\therefore x-3＞0，$
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{x-3}+x\\&=\frac{1}{x-3}+(x-3)+3\\&≥2\sqrt{\frac{1}{x-3}·(x-3)}+3\\&=5\end{aligned}$
当且仅当$\frac{1}{x-3}=x-3，$即$x=4$时，等号成立，
$\therefore$ 当$x=4$时，函数$y$的值最小，最小值是5。
【拓展应用】
解：设每间隔离房与墙平行的边的长为$x\ \mathrm{m}，$与墙垂直的边的长为$y\ \mathrm{m}。$
根据题意，得$9x+12y=63，$即$3x+4y=21。$
$\because 3x＞0，$$4y＞0，$
$\therefore 3x+4y≥2\sqrt{3x·4y}，$
即$21≥2\sqrt{12xy}，$
化简得$xy≤\frac{147}{16}，$即$S≤\frac{147}{16}，$
当且仅当$3x=4y$时，等号成立，联立$\begin{cases}3x+4y=21\\3x=4y\end{cases}，$解得$\begin{cases}x=\frac{7}{2}\\y=\frac{21}{8}\end{cases}。$
答：当每间隔离房的长为$\frac{7}{2}\ \mathrm{m}，$宽为$\frac{21}{8}\ \mathrm{m}$时，可使每间隔离房的面积最大，最大面积是$\frac{147}{16}\ \mathrm{m}^2。$
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