解:需要溶质质量分数为$65\%$的浓硝酸的质量为$\frac{500\ \mathrm{mL} × 1.1\ \mathrm{g/mL} × 20\%}{65\%} \approx 169.2\ \mathrm{g},$
需要蒸馏水的质量为$500\ \mathrm{mL} × 1.1\ \mathrm{g/mL} - 169.2\ \mathrm{g} = 380.8\ \mathrm{g}。$
需要$65\%$的浓硝酸的体积为$\frac{169.2\ \mathrm{g}}{1.4\ \mathrm{g/mL}} \approx 120.9\ \mathrm{mL},$
需要蒸馏水的体积为$\frac{380.8\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/mL}} = 380.8\ \mathrm{mL}。$
答:需要浓硝酸的体积约为$120.9\ \mathrm{mL},$需要蒸馏水的体积约为$380.8\ \mathrm{mL}。$