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证明：​$(1) $​作​$EM⊥ CD$​，垂足为​$M$​。
∵​$DE$​平分​$∠ ADC$​，​$EA⊥ AD$​，​$EM⊥ CD$​，
∴​$AE=ME$​。
∵​$E$​为​$AB$​的中点，
∴​$AE=EB$​，
∴​$EM=EB$​。
又∵​$EB⊥ BC$​，​$EM⊥ CD$​，
∴​$CE$​平分​$∠ BCD$​。
​$ (2) $​由​$(1)$​可知，​$AE=EM=EB$​。
​$ $​在​$Rt△ DEA$​和​$Rt△ DEM$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {DE}=DE \\AE=ME \end {cases}$​
∴​$Rt△ DEA≌Rt△ DEM (\mathrm {HL})$​，
∴​$DA=DM$​。
​$ $​同理可证​$Rt△ BEC≌Rt△ MEC (\mathrm {HL})$​，
∴​$CB=CM$​，
∴​$CD=DM+MC=AD+BC$​。
证明：​$(1) $​∵​$AB// DE$​，
∴​$∠ A=∠ D$​。
∵​$AC=FD$​，
∴​$AC-CF=DF-CF$​，即​$AF=CD$​。
​$ $​在​$△ ABF $​与​$△ DEC$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AF}=DC \\∠ A=∠ D \\AB=DE \end {cases}$​
∴​$△ ABF≌△ DEC (\mathrm {SAS})$​。
​$ (2) $​∵​$△ ABF≌△ DEC$​，
∴​$EC=BF$​，​$∠ ECD=∠ BFA$​，
∴​$∠ ECF=∠ BFC$​，
∴​$EC// BF$​，
∴四边形​$BCEF $​是平行四边形。
又∵​$∠ CEF=90°$​，
∴四边形​$BCEF $​是矩形。

证明：​$(1) $​连接​$AC$​交​$BD$​于点​$O$​。
​$ $​在​$□ ABCD$​中，​$OA=OC$​，​$OB=OD$​。
∵​$BE=DF$​，
∴​$OB-BE=OD-DF$​，即​$OE=OF$​，
∴四边形​$AECF $​是平行四边形。
​$ (2) $​∵在​$□ ABCD$​中，​$AB=AD$​，
∴​$□ ABCD$​是菱形，
∴​$AC⊥ BD$​，即​$AC⊥ EF$​，
∴平行四边形​$AECF $​是菱形。
​$ (3) $​在​$ (2)$​的条件下，​$∠ AOB=90°$​。
∵​$AB：BE：AO=5：1：3$​，设​$AB=5k$​，则​$AO=3k$​，​$BE=k$​，
​$ $​由勾股定理得​$BO=\sqrt {AB^2-AO^2}=4k$​，
∴​$EO=BO-BE=4k-k=3k$​，
∴​$AO=EO$​，
∴​$∠ OAE=∠ OEA=45°$​，同理​$∠ OAF=∠ OFA=45°$​，
∴​$∠ EAF=∠ OAE+∠ OAF=90°$​。
又∵四边形​$AECF $​是菱形，
∴四边形​$AECF $​为正方形。
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