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解：​$(2)$​设​$5x-2=a$​，​$9-5x=b$​，
​$ $​则​$a+b=(5x-2)+(9-5x)=7$​，​$ab=(5x-2)(9-5x)=4$​，
​$ $​所以​$(5x-2)^2+(9-5x)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=7^2-2×4=41$​。
​$ (3)$​设甲正方形边长为​$x$​，乙正方形边长为​$y$​，则​$x+y=8$​，
​$ $​所以​$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=64$​。
​$ $​因为点​$H$​为​$AE$​的中点，所以​$AH=EH=4$​。
​$ $​图​$(2)$​的阴影部分面积为​$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=2$​，
​$ $​所以​$(x+y)^2+(x-y)^2=64+2=66$​，即​$2(x^2+y^2)=66$​，得​$x^2+y^2=33$​。
​$ $​图​$ (1)$​的阴影部分面积为：
​$ x^2+y^2-\dfrac {1}{2}×4· x -\dfrac {1}{2}×4· y = x^2+y^2-2(x+y)=33-2×8=17$​。
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