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解：
$\begin{aligned} &\frac{2}{a}\sqrt{a^3b} +4b\sqrt{\frac{a}{4b}} -3a\sqrt{\frac{b}{9a}} -\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b^3}{a}}\\ =&\frac{2}{a}· a\sqrt{ab} +4b·\frac{\sqrt{ab}}{2b} -3a·\frac{\sqrt{ab}}{3a} -\frac{a}{b}·\frac{b\sqrt{ab}}{a}\\ =&2\sqrt{ab}+2\sqrt{ab}-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}\\ =&2\sqrt{ab} \end{aligned}$
解：$ (1) $由二次根式有意义的条件得$\begin {cases}b-4≥0\\4-b≥0\end {cases}$，
解得$b=4$，
$ $代入得$a=\sqrt {0}+\sqrt {0}-1=-1$，
$ $所以$A(-1，0)$，$B(4，0)$，
则$AB=4-(-1)=5$，
$ $已知$C(0，3)$，即$OC=3$，
$ $所以$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}× AB× OC=\frac {1}{2}×5×3=\frac {15}{2}$。
$ (2) $设点$M$的坐标为$(m，0)$，
则$AM=|m+1|$，
$ $由题意得$S_{△ ACM}=\frac {1}{3}S_{△ ABC}=\frac {1}{3}×\frac {15}{2}=\frac {5}{2}$，
$ $又$S_{△ ACM}=\frac {1}{2}× AM× OC=\frac {1}{2}×|m+1|×3=\frac {5}{2}$，
$ $解得$|m+1|=\frac {5}{3}$，
$ $当$m+1=\frac {5}{3}$时，$m=\frac {2}{3}$；当$m+1=-\frac {5}{3}$时，$m=-\frac {8}{3}$。
$ $所以点$M$的坐标为$(\frac {2}{3}，0)$和$(-\frac {8}{3}，0)$。
$\sqrt{3^2+2×3×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2}$
$\sqrt{(3+\sqrt{5})^2}$
$|3+\sqrt{5}|$
$3+\sqrt{5}$
解：​$(2)$​
$\begin{aligned} \sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}&=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{4}}\\ &=\sqrt{\frac{1^2+2×1×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{4}}\\ &=\sqrt{\frac{(1+\sqrt{3})^2}{4}}\\ &=\frac{|1+\sqrt{3}|}{2}\\ &=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$
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