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解：​$(1) $​由题意，​$a=4$​，​$b=5$​，​$c=7$​，
​$ $​则​$p=\frac {a+b+c}{2}=\frac {4+5+7}{2}=8$​，
代入海伦-秦九韶公式得：
​$ S_{△ ABC}=\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}$​
​$=\sqrt {8×(8-4)×(8-5)×(8-7)}=\sqrt {8×4×3×1}=4\sqrt {6}$​
​$ (2) $​过点​$C$​作​$CH⊥ AB$​于点​$H$​，设​$AH=x$​，则​$BH=7-x$​，
​$ $​在​$Rt△ ACH$​中，​$CH^2=AC^2-AH^2=4^2-x^2$​，
​$ $​在​$Rt△ BCH$​中，​$CH^2=BC^2-BH^2=5^2-(7-x)^2$​，
​$ $​因此​$16-x^2=25-(7-x)^2$​，
​$ $​展开化简得​$14x=40$​，解得​$x=\frac {20}{7}$​，
​$ $​则​$CH=\sqrt {4^2-(\frac {20}{7})^2}=\frac {8\sqrt {6}}{7}$​，
​$ $​所以​$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}× AB× CH=\frac {1}{2}×7×\frac {8\sqrt {6}}{7}=4\sqrt {6}$​。
$\sqrt{a}-\sqrt{b}$
$2\sqrt{3}+2\sqrt{5}$
$2-\sqrt{3}$
解：​$(3)$​
$\begin{aligned} &\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}\\ =&(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{2026}-\sqrt{2025})\\ =&\sqrt{2026}-1 \end{aligned}$
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