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解：$ (1) $长方形$ABCD$的周长为：

$ 2×(BC+AB)=2×(8\sqrt {3}+\sqrt {98})=2×(8\sqrt {3}+7\sqrt {2})=16\sqrt {3}+14\sqrt {2}$

$ $所以该长方形闲置区域$ABCD$的周长为$(16\sqrt {3}+14\sqrt {2})$米。

$ (2) $需要铺红毯的面积为长方形面积减去正方形展台的面积：

$ \begin {aligned}\ \mathrm {S}_{红毯}&=BC× AB - (\sqrt {6}-1)^2 &=8\sqrt {3}×7\sqrt {2} - (6-2\sqrt {6}+1) &=56\sqrt {6} -7 +2\sqrt {6} &=58\sqrt {6}-7 \end {aligned}$

$ $代入$\sqrt {6}≈2.4495$，总花费为$10×(58\sqrt {6}-7)≈1350.7$元。

$ $所以购买红毯大约需要花费$1350.7$元。