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解：​$(1)$​
$ \begin{aligned} 原式&=(\frac{x+2}{x+2}-\frac{3}{x+2})· \frac{2x+4}{x^2-2x+1}\\ &=\frac{x-1}{x+2}· \frac{2(x+2)}{(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{x-1} \end{aligned} $
当$x=\sqrt{2}+1$时，
$原式=\frac{2}{\sqrt{2}+1-1}=\sqrt{2}$
解：(2)方程两边同乘$2x-1，$去分母得：
$x-2-(2x-1)=-1$
整理得$-x-1=-1，$解得$x=0。$
检验：当$x=0$时，$2x-1=-1≠ 0。$
故原分式方程的解为$x=0。$
证明：​$(1)$​∵​$ $​四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$ AO=OC$​，​$AC⊥ BD$​，​$AB=BC$​。
∵​$ E$​是​$BC$​的中点，
∴​$ OE$​是​$△ ABC$​的中位线，
∴​$ OE// AB$​，​$OE=\frac {1}{2}AB$​。
∵​$ BF=\frac {1}{2}BC$​，且​$AB=BC$​，
∴​$ OE=BF$​。
又∵​$ OE// BF$​，
∴​$ $​四边形​$OBFE$​是平行四边形。
​$ (2) $​∵​$ $​四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$ OB=\frac {1}{2}BD=\frac {1}{2}×12=6$​，​$AC⊥ BD$​，​$BC=AB=10$​。
​$ $​在​$Rt△ BOC$​中，
​$ OC=\sqrt {BC^2-OB^2}=\sqrt {10^2-6^2}=8$​
​$ S_{△ BOC}=\frac {1}{2}· CO· OB=\frac {1}{2}×8×6=24$​
∵​$ $​四边形​$OBFE$​是平行四边形，​$E$​是​$BC$​中点，
∴​$ S_{□ OBFE}=S_{△ BOC}=24$​。
解：设机器人$A$每小时搬运$x$千克化工原料，则机器人$B$每小时搬运$(x+20)$千克化工原料。
根据题意，得：
$\frac{800}{x}=\frac{1000}{x+20}$
解得$x=80。$
经检验，$x=80$是所列方程的解，且符合题意。
∴ $x+20=80+20=100。$
答：机器人$A$每小时搬运80千克化工原料，机器人$B$每小时搬运100千克化工原料。
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