证明$：(1) $∵$ $四边形$ABCD$是正方形，
∴$ AB=BC$，$∠ ABC=∠ C=90°$。
∵$ AE⊥ BF$，
∴$ ∠ AMB=90°=∠ ABC$，
∴$ ∠ BAE+∠ ABM=90°=∠ ABM+∠ CBF$，
∴$ ∠ BAE=∠ CBF$。
$ $在$△ ABE$和$△ BCF_{中}$：
$ \begin {cases} ∠ BAE=∠ CBF \\AB=BC \\∠ ABE=∠ C \end {cases} $
∴$ △ ABE≌△ BCF(\mathrm {ASA})$，
∴$ S_{△ ABE}=S_{△ BCF}$，
$ $两边同时减去$S_{△ BEM}$，得$S_{△ ABM}=S_{四边形CEMF}$。
$ (2) ① $延长$CB$至点$N$，使$BN=DF$，连接$AN$。
∵$ AM=MF$，$FM⊥ AM$，
∴$ ∠ FAE=45°$，
∴$ ∠ DAF+∠ BAE=45°$。
∵$ AB=AD$，$∠ ADF=∠ ABN=90°$，$DF=BN$，
∴$ △ ADF≌△ ABN(\mathrm {SAS})$，
∴$ ∠ DAF=∠ BAN$，$AN=AF$，
∴$ ∠ BAN+∠ BAE=∠ DAF+∠ BAE=45°$，即$∠ NAE=∠ EAF$。
$ $又$AN=AF$，$AE=AE$，
∴$ △ AEF≌△ AEN(\mathrm {SAS})$，
∴$ EF=NE=BE+BN=BE+DF=x+y$。
$ $在$Rt△ CEF_{中}$，由勾股定理：
$ EF^2=CF^2+EC^2$
代入得：
$ (x+y)^2=(4-x)^2+(4-y)^2$
展开整理得：$y=\dfrac {16-4x}{x+4}$。
② ∵$ E$是$BC$的中点，
∴$ BE=CE=2$，
∴$ AE=\sqrt {AB^2+BE^2}=\sqrt {16+4}=2\sqrt {5}$。
分三种情况讨论：$ $当$AE=AF $时：
$ AF^2=AD^2+DF^2$，即$20=16+DF^2$，解得$DF=2($负值舍去$)$，
∴$ CF=CD-DF=4-2=2$；$ $当$AE=EF $时：
$ EF^2=EC^2+CF^2$，即$20=4+CF^2$，解得$CF=4($负值舍去$)$，
$ $此时$F $与点$C$重合，不符合题意，舍去；$ $当$AF=EF $时：
$ AF^2=AD^2+DF^2$，$EF^2=EC^2+CF^2$，
代入得：$16+(4-CF)^2=4+CF^2$，
$ $解得$CF=\dfrac {7}{2}$。
综上所述，$CF $的长为$2$或$\dfrac {7}{2}$。
