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证明： ∵在​$△ ABC$​中，​$AD$​是角平分线，
∴​$∠ EAG=∠ CAG$​。
​$ $​在​$△ EAG $​和​$△ CAG_{中}$​，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AE}=AC， \\∠ EAG=∠ CAG， \\AG=AG， \end {cases}$​
∴​$△ EAG≌△ CAG(\mathrm {SAS})$​，
∴​$EG=CG$​，​$∠ AGE=∠ AGC$​，
∴​$∠ EGD=∠ CGD$​。
∵​$EG// BC$​，
∴​$∠ EGD=∠ CDG$​，
∴​$∠ CDG=∠ CGD$​，
∴​$CD=CG$​，
∴​$CD=EG$​。
​$ $​又​$CD// EG$​，
∴四边形​$EDCG $​是平行四边形，
​$ $​又​$EG=CG$​，
∴平行四边形​$EDCG $​是菱形。
解：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$OA=OC$​。
∵​$E$​是​$AD$​的中点，
∴​$OE$​是​$△ ACD$​的中位线，
∴​$OE// CD$​。
∵​$OG// EF$​，
∴四边形​$OEFG $​是平行四边形。
∵​$EF⊥ CD$​，
∴​$∠ EFG=90°$​，
∴平行四边形​$OEFG $​是矩形。
​$ (2)$​∵四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$AD=CD=10$​，​$AC⊥ BD$​，
∴​$∠ AOD=90°$​。
∵​$E$​是​$AD$​的中点，
∴​$OE=\frac {1}{2}AD=DE=5$​。
​$ $​由​$ (1)$​得四边形​$OEFG $​是矩形，
∴​$OE=FG=5$​。
​$ $​在​$Rt△ DEF_{中}$​，
​$DF=\sqrt {DE^2-EF^2}=\sqrt {5^2-3^2}=4$​，
∴​$CG=CD-FG-DF=10-5-4=1$​。
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