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证明：∵​$BD=8$​，​$BC=6$​，​$CD=10$​，
∴​$BD^2+BC^2=64+36=100=10^2=CD^2$​，
∴​$△ BCD$​是直角三角形，​$∠ CBD=90°$​。
∵​$∠ ADB=∠ CBD$​，
∴​$AD// BC$​，​$∠ ADB=90°$​，
∴​$AD^2+BD^2=AB^2$​，
​$ $​即​$(13-x)^2+8^2=(x+3)^2$​，
​$ $​解得​$x=7$​，
∴​$AD=13-7=6$​，
∴​$AD=BC=6$​。
​$ $​又​$AD// BC$​，
∴四边形​$ABCD$​是平行四边形。
$\frac{33}{4}$
解：​$(1) $​∵四边形​$ABCD$​为平行四边形，
∴​$AD=BC$​，​$AD// BC$​，
∴​$∠ GDB=∠ FBH$​。
∵​$AE⊥ BD$​，​$CF⊥ BD$​，
∴​$∠ BFC=∠ AED=90°$​。
∵​$G$​，​$H$​分别是​$AD$​，​$BC$​的中点，
∴​$EG=\frac {1}{2}AD=DG$​，​$FH=\frac {1}{2}BC=BH$​，
∴​$EG=FH$​，​$∠ GED=∠ GDB$​，​$∠ BFH=∠ FBH$​，
∴​$∠ GED=∠ BFH$​，
∴​$GE// HF$​，
∴四边形​$GEHF $​是平行四边形。
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