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解：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$BO=DO$​，​$AD// BC$​，​$AB// CD$​。
∵​$E$​是​$CD$​的中点，
∴​$OE$​是​$△ BCD$​的中位线，
∴​$OE=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}AD$​，​$OE// BC$​。
∵​$EF// BD$​，​$OE// BC$​，
∴四边形​$OEFB$​是平行四边形。
∵​$AD⊥ BD$​，​$AD// BC$​，
∴​$BC⊥ BD$​，即​$∠ CBD=90°$​，
∴平行四边形​$OEFB$​是矩形。
​$ (2)$​∵​$AD=4$​，
∴​$OE=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}AD=2$​。
∵​$AD⊥ BD$​，​$AD=4$​，​$AB=DC=6$​，
∴​$DB=\sqrt {6^2-4^2}=2\sqrt {5}$​，
∴​$OB=\sqrt {5}$​，
∴矩形​$OEFB$​的面积​$=2×\sqrt {5}=2\sqrt {5}$​。

解：​$ (1)$​∵​$AD// BC$​，
∴​$∠ ADB=∠ EBC$​。
∵​$CE⊥ BD$​，​$∠ A=90°$​，
∴​$∠ A=∠ CEB=90°$​。
​$ $​在​$△ ABD$​和​$△ ECB$​中，
​$ \begin {cases} ∠ A=∠ CEB， \\∠ ADB=∠ EBC， \\BD=BC， \end {cases}$​
∴​$△ ABD≌△ ECB(\mathrm {AAS})$​。
​$ (2)$​∵​$∠ DBC=50°$​，​$BC=BD$​，
∴​$∠ EDC=\frac {1}{2}×(180°-50°)=65°$​。
​$ $​又​$CE⊥ BD$​，
∴​$∠ CED=90°$​，
∴​$∠ DCE=90°-∠ EDC=90°-65°=25°$​。
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