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解：​$ (1) $​设​$x^4 - mx^3 + 2nx -16 = A(x-1)(x-2)$​，
​$A$​为整式。
​$ $​令​$x=1$​，得​$1 - m + 2n -16 = 0$​，
即​$m - 2n = -15$​。
​$ $​令​$x=2$​，得​$16 - 8m +4n -16 = 0$​，
即​$4m -2n = 0$​。
联立方程组：
​$ \begin {cases}\ \mathrm {m} - 2n = -15\\4m - 2n = 0 \end {cases} $​
​$ $​解得​$\begin {cases}\ \mathrm {m}=5 \\n=10 \end {cases}$​。
​$ (2) $​设多项式​$x^3+kx^2+3$​除以​$x+2$​的余数为​$m$​，
除以​$x+3$​的余数为​$n$​。
​$ $​令​$x=-2$​，得​$m=4k-5$​。
​$ $​令​$x=-3$​，得​$n=9k-24$​。
​$ $​由题意​$n-m=1$​，代入得：
​$ (9k-24)-(4k-5)=1$​
​$ $​化简得​$5k=20$​，
解得​$k=4$​。
​$(a-b)(a^2+ab+b^2)$​
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解：
​$ (2)①$​
$ \begin{aligned} x^4+x&=x(x^3+1)\\ &=x(x+1)(x^2-x+1) \end{aligned} $
②
$ \begin{aligned} x^3-3x^2y+3xy^2-y^3&=(x-y)^3 \end{aligned} $
​$ (3)② $​先分解因式：
$ \begin{aligned} a^3+2a^2b+2ab^2+b^3&=(a+b)(a^2+ab+b^2) \end{aligned} $
由题意$S_3=(a-b)^2=1，$
得$a-b=1，$$S_1=(a+b)^2=25，$
得$a+b=5。$
代入得：
$ \begin{aligned} 原式&=5×(3^2+3×2+2^2)\\ &=95 \end{aligned} $
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