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解：​$ (1)$​由两点间距离公式：
​$ AB=\sqrt {(4-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt {9+16}=5$​
​$ (2)$​由题意得​$p=\frac {a+b+c}{2}=\frac {7+8+5}{2}=10$​
∴​$S_{△ ABC}=\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}$​
​$=\sqrt {10×(10-7)×(10-8)×(10-5)}=10\sqrt {3}$​
​$ (3)$​由三角形面积公式​$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}AB· CD$​，
代入得​$10\sqrt {3}=\frac {1}{2}×5× CD$​
​$ $​解得​$CD=4\sqrt {3}$​
$m^2+3n^2$
$2mn$
$2+\sqrt{3}$
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