解$：(2)$设分式$\frac {a}{2a+1}$的$“$美妙分式$”$为$A$，
则$| A-\frac {a}{2a+1} |=3$，
∴$A-\frac {a}{2a+1}=3$或$ A-\frac {a}{2a+1}=-3.$
$①$当$A-\frac {a}{2a+1}=3$时，
$A=\frac {a}{2a+1}+3=\frac {a}{2a+1}+\frac {6a+3}{2a+1}=\frac {7a+3}{2a+1}$；
$②$当$A-\frac {a}{2a+1}=-3$时，
$A=\frac {a}{2a+1}-3=\frac {a}{2a+1}-\frac {6a+3}{2a+1}=\frac {-5a-3}{2a+1}=-\frac {5a+3}{2a+1}.$
综上，分式$\frac {a}{2a+1}$的$“$美妙分式$”$为$\frac {7a+3}{2a+1}$或$-\frac {5a+3}{2a+1}.$
$(3)$因为$\frac {4a^2}{a^2-b^2}$与$\frac {a}{a+b}$互为$“$美妙分式$”$，
所以$|\frac {4a^2}{a^2-b^2}-\frac {a}{a+b}|=3$
$ $化简$\frac {4a^2}{a^2-b^2}-\frac {a}{a+b}$
$=\frac {4a^2}{(a+b)(a-b)}-\frac {a(a-b)}{(a+b)(a-b)}$
$=\frac {4a^2-a^2+ab}{(a+b)(a-b)}$
$=\frac {3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}$
$=\frac {a(3a+b)}{(a+b)(a-b)}$
$ $则$|\frac {3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}|=3$，
即$\frac {|3a^2+ab|}{|(a+b)(a-b)|}=3$，
可得$|3a^2+ab|=3|a^2-b^2|$
分两种情况：
情况一：$3a^2+ab=3(a^2-b^2)$
$ 3a^2+ab=3a^2-3b^2$
$ ab=-3b^2$，
因为$b≠0$，
所以$a=-3b$
$ $将$a=-3b$代入$\frac {2a^2-b^2}{ab}$：
$ \frac {2×(-3b)^2-b^2}{(-3b)× b}=\frac {18b^2-b^2}{-3b^2}=-\frac {17}{3}$
情况二：$3a^2+ab=-3(a^2-b^2)$
$ 3a^2+ab=-3a^2+3b^2$
$ 6a^2+ab-3b^2=0$，即$ab=3b^2-6a^2$
$ $将$ab=3b^2-6a^2$代入$\frac {2a^2-b^2}{ab}$：
$ \frac {2a^2-b^2}{3b^2-6a^2}=\frac {2a^2-b^2}{-3(2a^2-b^2)}=-\frac {1}{3}$
综上，$\frac {2a^2-b^2}{ab}$的值为$-\frac {17}{3}$或$-\frac {1}{3}$
