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解：​$\sqrt {2025}-\sqrt {2023}$​
​$=\frac {(\sqrt {2025}-\sqrt {2023})(\sqrt {2025}+\sqrt {2023})}{\sqrt {2025}+\sqrt {2023}}$​
​$=\frac {2}{\sqrt {2025}+\sqrt {2023}}$​，
​$ $​同理​$\sqrt {2024}-\sqrt {2022}=\frac {2}{\sqrt {2024}+\sqrt {2022}}$​。
∵​$\sqrt {2025}+\sqrt {2023}＞\sqrt {2024}+\sqrt {2022}$​，
∴​$\sqrt {2025}-\sqrt {2023}＜\sqrt {2024}-\sqrt {2022}$​。
解：​$3\sqrt {2}-4=\frac {(3\sqrt {2}+4)(3\sqrt {2}-4)}{3\sqrt {2}+4}=\frac {2}{3\sqrt {2}+4}$​，
​$ 2\sqrt {3}-\sqrt {10}=\frac {(2\sqrt {3}+\sqrt {10})(2\sqrt {3}-\sqrt {10})}{2\sqrt {3}+\sqrt {10}}=\frac {2}{2\sqrt {3}+\sqrt {10}}$​，
​$ $​而​$3\sqrt {2}＞2\sqrt {3}$​，​$4＞\sqrt {10}$​，
∴​$3\sqrt {2}+4＞2\sqrt {3}+\sqrt {10}$​，
∴​$3\sqrt {2}-4＜2\sqrt {3}-\sqrt {10}$​。
解：比较$\sqrt{a+3}+\sqrt{a+7}$与$2\sqrt{a+5}$的大小等
同于比较$\sqrt{a+7}-\sqrt{a+5}$与$\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}$的
大小。
$\sqrt{a+7}-\sqrt{a+5}=\frac{2}{\sqrt{a+7}+\sqrt{a+5}}，$
$\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}=\frac{2}{\sqrt{a+5}+\sqrt{a+3}}，$
$∵\sqrt{a+7}+\sqrt{a+5}＞\sqrt{a+5}+\sqrt{a+3}，$
$∴\sqrt{a+7}-\sqrt{a+5}＜\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}，$
$∴\sqrt{a+3}+\sqrt{a+7}＜2\sqrt{a+5}，$即$P＜Q。$
解：​$(1)$​由​$2x+1≥0$​，​$2x-3≥0$​可知​$x≥\frac {3}{2}$​。
​$ y=\sqrt {2x+1}-\sqrt {2x-3}+5$​
​$=\frac {(\sqrt {2x+1}-\sqrt {2x-3})(\sqrt {2x+1}+\sqrt {2x-3})}{\sqrt {2x+1}+\sqrt {2x-3}}+5$​
​$=\frac {4}{\sqrt {2x+1}+\sqrt {2x-3}}+5$​，
​$ $​当​$x=\frac {3}{2}$​时，分母​$\sqrt {2x+1}+\sqrt {2x-3}$​有最小值​$2$​，
​$ $​所以​$y$​的最大值是​$\frac {4}{2}+5=7$​。
解：​$(2)$​由​$1-x≥0$​，​$1+x≥0$​，​$x≥0$​得​$0≤ x≤1$​，
​$ y=\sqrt {1-x}+\sqrt {1+x}-\sqrt {x}$​
​$=\sqrt {1-x}+\frac {(\sqrt {1+x}-\sqrt {x})(\sqrt {1+x}+\sqrt {x})}{\sqrt {1+x}+\sqrt {x}}$​
​$=\sqrt {1-x}+\frac {1}{\sqrt {1+x}+\sqrt {x}}$​，
​$ $​当​$x=1$​时，​$\sqrt {1-x}$​有最小值​$0$​，​$\sqrt {1+x}+\sqrt {x}$​
有最大值​$\sqrt {2}+1$​，
则​$\frac {1}{\sqrt {1+x}+\sqrt {x}}$​有最小值​$\frac {1}{\sqrt {2}+1}=\sqrt {2}-1$​，
​$ $​此时​$y$​的最小值为​$0+\sqrt {2}-1=\sqrt {2}-1$​。
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